La duda en la prueba de Banach Teorema de Alaoglu

Question

Estoy leyendo una prueba de Banach Alaoglu Teorema de Análisis Funcional S Keshavan en la página 142:

Teorema: Vamos a $V$ ser un espacio de Banach. A continuación,$B^{*}$, el cierre de la unidad de la bola en $V^*$ es débil$^*$-compacto.

Prueba: Para cada una de las $x$$V$, dejamos $U_{x}$ ser la bola cerrada de radio $||x||_{b}$$\mathbb{C}$. Entonces, podemos tomar $U = \Pi_{x\in V} U_{x}$,lo que claramente es compacto por el teorema de Tychonoff.

El mapa $$ \tau : f \mapsto (f(x))_{x\in V} $$ define una continua inyección de la unidad de la bola de $B^*$$U$. Deje $A$ denotar la imagen de $\tau$, por lo que es suficiente para demostrar que $A$ es cerrado en $U$.

Deje $(f_x)_{x\in V} \in cl(\tau(B^*))$. Para definir $x\in V$, $f(x)=f_x$. La prueba estará completa si podemos demostrar que $f$ es lineal.

deje $\epsilon >0$ ser dado. Luego se le da $x$$y$$V$,

podemos encontrar $g \in B^{*}$ tal que $ \vert g(x)-f(x) \vert < \epsilon/3$,$ \vert g(y)-f(y) \vert < \epsilon/3$,$ \vert g(x+y)-f(x+y) \vert < \epsilon/3$

Puede que alguien me explique ¿cómo llegamos $g$ mencionado en el último párrafo?

Answer 1

Tenga en cuenta que, por definición, $\tau(B^*)$ es denso en $\def\c{\mathop{\rm cl}}\c(\tau B^*)$. Dado que ahora se $x,y \in V$$\epsilon > 0$, el conjunto de $$ W := \{h \in \c(\tau B^*) : |h(x) - f(x)|, |h(y) - f(y)|, |h(x+y) - f(x+y)| < \epsilon/3 \} $$ está abierto por la definición del producto de la topología de conjunto que contiene a $f$. Como $f \in \c(\tau B^*)$, hay un $g \in B^*$ tal que $\tau(g) \in W$.