Probabilidad suma de 5 antes que suma de 7

Question

Se lanzan pares de dados justos (espero que independientemente) infinitamente. Hallar la probabilidad de que la suma de 5 aparezca antes que la suma de 7.

2 enfoques:

1. $$P(\text{sum of 5 appears before sum of 7})$$

$$= P(\text{roll 1 is 5})$$

$$+ P(\text{roll 2 is 5, roll 1 is not 7})$$

$$+ P(\text{roll 3 is 5, roll 1,2 are not 7})$$

$$+ P(\text{roll 4 is 5, roll 1,2,3 are not 7})$$

$$+ \ldots$$

2. $$P(\text{sum of 5 appears before sum of 7})$$

$$= P(\text{roll 1 is 5})$$

$$+ P(\text{roll 2 is 5, roll 1 is not 7}, \ \color{red}{\text{roll 1 is not 5}})$$

$$+ P(\text{roll 3 is 5, roll 1,2 are not 7}, \ \color{red}{\text{roll 1,2 are not 5}})$$

$$+ P(\text{roll 4 is 5, roll 1,2,3 are not 7}, \ \color{red}{\text{roll 1,2,3 are not 5}})$$

$$+ \ldots$$

¿Cuál es la correcta?

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Matemáticamente:

Sea $n = 1,2,...$

Sea $A_n$ es la probabilidad de que la suma de 5 aparezca en la tirada $n$

Sea $B_n$ es la probabilidad de que la suma de 7 aparezca en la tirada $n$

Sea $B_0^C = \Omega$

Observe que $A_n$ y $B_n$ son disjuntos. Por lo tanto $A_n \subseteq B_n^C$

El enfoque 1 da:

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n \cap \bigcap_{m=0}^{n} B_m^C)$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n \cap \bigcap_{m=0}^{\color{red}{n-1}} B_m^C)$$

$$ = \frac{4}{36} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{30}{36})^{n-1}$$

El planteamiento 2 da:

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n \cap \bigcap_{m=0}^{n} B_m^C \color{red}{\cap \bigcap_{m=0}^{n-1} A_m^C})$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n \cap \bigcap_{m=0}^{\color{red}{n-1}} B_m^C \color{red}{\cap \bigcap_{m=0}^{n-1} A_m^C})$$

$$ = \frac{4}{36} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{30}{36})^{n-1} \color{red}{(\frac{32}{36})^{n-1}}$$

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¿Cuál es la hipótesis de independencia más débil que debemos hacer?

Para el enfoque 1 parece que necesitamos asumir la independencia de

$$A_n, B_1, B_2, ..., B_{n-1}$$ .

Para el enfoque 2 parece que necesitamos asumir la independencia de

$$A_1, A_2, ..., A_n, B_1, B_2, ..., B_{n-1}$$ .

¿Es eso cierto?

Answer 1

Un enfoque sencillo sería "dividir el mundo" en dos eventos:

• El acontecimiento en el que una suma de $5$ aparece ante una suma de $7$
• El acontecimiento en el que una suma de $7$ aparece ante una suma de $5$

Dado que se trata de complementario sucesos, la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es $1$ .

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Ahora, la probabilidad de una suma de $5$ es $\color\red{1/9}$ y la probabilidad de una suma de $7$ es $\color\green{1/6}$ .

Por lo tanto:

• La probabilidad de que una suma de $5$ aparece ante una suma de $7$ es $\frac{\color\red{1/9}}{\color\red{1/9}+\color\green{1/6}}=\frac25$
• La probabilidad de que una suma de $7$ aparece ante una suma de $5$ es $\frac{\color\green{1/6}}{\color\red{1/9}+\color\green{1/6}}=\frac35$

Answer 2

Yo no doy una respuesta a su pregunta (s) (todavía), pero entregar un enfoque diferente.

Probabilidad correspondiente a la suma $5$ es $\frac{4}{36}$ y probabilidad correspondiente a la suma $7$ es $\frac{6}{36}$ .

Despreciando los otros resultados encontramos una probabilidad $\frac{4}{10}$ para suma $5$ y $\frac{6}{10}$ para suma $7$ .

Si en base a estas probabilidades se hace una elección entonces la probabilidad de que suma $5$ se elige (es decir, se antepone a sum $7$ ) es: $$\frac25$$

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editar :

Tu primer planteamiento es erróneo y el segundo es correcto (pero tedioso). Véase la respuesta de Micapps.

Sea $E_{k}$ denota el acontecimiento que en el $k$ -rodar por la primera vez una suma de $5$ o $7$ aparece.

Entonces más formalmente tenemos: $$P\left(\text{sum }5\text{ appears first}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}P\left(\text{sum }5\text{ appears first}\mid E_{k}\right)P\left(E_{k}\right)=$$$$ \suma_{k=1}^{infty}P\left(\text{ suma }5\text{ aparece en la tirada }k\mid E_{k}\right)P\left(E_{k}\right)=\suma_{k=1}^{infty}\frac{2}{5}P\left(E_{k}\right)=\frac{2}{5}$$

Answer 3

En tu primer enfoque, los eventos no son disjuntos: Por ejemplo, el evento en el que las dos primeras tiradas son $5$ está contenido en los dos primeros eventos.

En el segundo enfoque, los sucesos son disjuntos y su unión es el suceso que $5$ compareció ante $7$ Así que este es el camino a seguir.

Por cierto, si podemos suponer que todos los lanzamientos son independientes, un buen truco para resolver este tipo de problema es el siguiente: Sea $p$ sea la probabilidad de que $5$ aparece antes de $7$ . Por la ley de la probabilidad completa tenemos:

$p = \Pr[5\text{ appears on first roll}] + \Pr[\text{first roll is not }5\text{ or }7]\cdot\Pr[5\text{ appears before }7\ |\text{ first roll is not }5\text{ or }7]$

Ahora, debido a la naturaleza autosimilar del problema obtenemos:

$\Pr[5\text{ appears before }7\ |\text{ first roll is not }5\text{ or }7]=p$

Introduciendo los números en la primera ecuación obtenemos:

$$p=\frac{4}{36}+\frac{26}{36}p\implies\frac{5}{18}p=\frac{1}{9}\implies p=\frac{2}{5}$$

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En cuanto a la "formulación matemática" del segundo enfoque: La forma en que has presentado el problema definiendo los eventos $A_n,B_n$ es correcta hasta donde yo sé, en el sentido de que codifica la intuición dada al principio de la pregunta.

En cuanto a la independencia: Para pasar de la probabilidad de una intersección de sucesos al producto de sus probabilidades en general necesitas independencia. Es posible que puedas salirte con la tuya con algo "más débil" (que tendrías que especificar), pero no tengo ni idea de cuál sería la suposición "más débil".