Así que leí sobre la serie Taylor y decía que se puede elegir ampliar la serie alrededor de un punto determinado ( $x=a$ ). ¿Importa el punto que se elija para calcular el valor de la serie?
Por ejemplo, si quisiera calcular " $e^x$ " en $x=1$ entonces, ¿importaría que ampliara la serie en torno a $a=1$ o $a=0$ ? Gracias de antemano :)
Siguiendo con su ejemplo de $e^x$ si puedes ampliarlo alrededor de $a=1$ , entonces ya conoce el valor de $e^x$ en $x=1$ . En otras palabras, no se utilizaría la expansión de Taylor para aproximar una función sobre un punto en el que ya se puede calcular el valor.
La elección del punto para la expansión es en gran medida una cuestión de facilidad de cálculo y de lo que está disponible. Es mucho más fácil calcular la expansión de Taylor de, por ejemplo, $e^x$ , $\sin(x)$ o $\cos (x)$ sobre el punto $x=0$ entonces sería sobre el punto $x=0.12345563$ o $x=\pi + 6.7$ por la sencilla razón de que es muy fácil calcular el valor que alcanzan las derivadas en $x=0$ pero menos fácil (y mucho más complicado) en otros puntos. Las cuestiones de aproximación adecuada del error son importantes en este caso, así como hacer una elección que aumente la velocidad de convergencia podría ser relevante.
Además, cuando uno intenta extrapolar una función a partir de unos valores empíricos dados, simplemente tiene que trabajar con lo que tiene. Si se dispone de más información numérica sobre una función y sus derivadas en un punto y en torno a él $a$ de lo que tienes en o sobre un punto $b$ , a continuación, utilice $x=a$ como punto para la expansión de Taylor.
Sí, importaría, porque la idea de la expansión de Taylor es que quieres evaluar f(x), cuando x está muy cerca de a. Esto significa que cuanto más cerca esté x de a, necesitarás sumar menos términos para llegar a una cierta precisión.
Por ejemplo, si quisiera calcular $ e^2 $ entonces sería inteligente expandir alrededor de a=1, porque 2 está más cerca de 1 que de 0, pero si quisiera calcular $e^{0.234325}$ entonces sería más inteligente expandirse alrededor de a=0.
La cuestión es que si se conoce el valor de una función y todas sus derivadas en un único punto, entonces se pueden utilizar estos datos para determinar su función en alguna vecindad de ese punto, es decir, una bola abierta alrededor del punto con radio igual al radio de convergencia de la serie expandida sobre ese punto. Lo bueno de funciones como la exponencial y la trigonométrica (o funciones con radio de convergencia infinito) es que conocer los datos contables que consisten en el valor de la función junto con todas sus derivadas en un solo punto es suficiente para determinar los datos incontables que consisten en su valor en cada punto.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
