Pregunta sobre el teorema de Dynkin Lehmann Scheffe

Question

Estoy estudiando por mi cuenta para un examen, y me gustaría entender cómo usar el teorema de Dynkin Lehmann Scheffe para una pregunta aplicada.

Estoy usando la "Estadística Matemática" de Bickel y Doksum (edición 2007), y sólo hay una frase que describe el proceso:

Que P = { $P_{ \theta }$ : $ \theta $ $ \in $ $ \Theta $ } donde $P_{ \theta }$ es discreto concentrado en X = { $x_1$ , $x_2$ ,....}. Que $p(x, \theta )$ $ \equiv $ $P_{ \theta }$$ [X = x] $ $ \equiv $ $ L_x( \theta )$ > 0 en X.

Se puede demostrar que $ \frac {L_x(.)}{L_x( \theta_0 )}$ es mínimamente suficiente.

Encontré una pregunta con la solución, pero me gustaría ver cómo funciona el proceso.

Esta es la pregunta:

Aquí está la solución:

Pido disculpas por no haber mostrado ningún trabajo, pero hay una escasez de información disponible sobre este teorema, así que sólo quería ver cómo funciona el proceso para este tipo de problema.

Answer 1

La siguiente afirmación no tiene sentido:

$ \frac {L_x(.)}{L_x( \theta_0 )}$ es mínimo suficiente

Lehmann y Scheffé lo demostraron:

Si $T(x)=T(y)$ $ \iff $ $ \theta \mapsto \dfrac {p(x, \theta )}{p(y, \theta )}$ es una función constante, entonces $T$ es mínimo suficiente.

Llama a $(*)$ = " $ \theta \mapsto \frac {p(x, \theta )}{p(y, \theta )}$ es una función constante".

Tomando una arbitraria $ \theta_0 \in \Theta $ ( $ \theta_0 =3$ en su ejemplo) entonces $(*)$ significa que $ \dfrac {p(x, \theta )}{p(y, \theta )} = \dfrac {p(x, \theta_0 )}{p(y, \theta_0 )}$ o en otras palabras $ \dfrac {p(x, \theta )}{p(x, \theta_0 )} = \dfrac {p(y, \theta )}{p(y, \theta_0 )}$ para cada $ \theta $ . Las anotaciones en la tabla de la solución que has puesto son los valores de $ \frac {p(x, \theta )}{p(x, \theta_0 )}$ para cada $x$ y $ \theta $ . Llama a $r(x)$ el vector ${ \left ( \frac {p(x, \theta )}{p(x, \theta_0 )} \right )}_{ \theta \in \Theta }$ Entonces el procedimiento consiste en asignar un valor a $T(x)$ compartido por todos $x$ teniendo la misma $r(x)$ . Por ejemplo $r(1)=r(2)$ en su problema, entonces asignamos un valor común a $T(1)$ y $T(2)$ . Siguiente, $r(3)$ está "solo" en su mesa ( $r(x) \neq r(3)$ para $x \neq 3$ ), y luego asignar un valor a $T(3)$ ...diferente de los valores asignados previamente, y así sucesivamente... Construyendo $T$ de esta manera, entonces se cumple la condición del teorema de Lehmann-Scheffé, y entonces el teorema se aplica.

Actualización

Lo siento, ahora lo entiendo:

$ \frac {L_x(.)}{L_x( \theta_0 )}$ es mínimo suficiente

esto no es más que mi $r(x)$ !