Cómo encontrar a $\lim\limits_{x\to 2}f(x)$ si $\lim\limits_{x\to 2}\frac{f(x)-5}{x-2}=100$?

Question

Cómo encontrar a $\lim\limits_{x\to 2}f(x)$ si $\lim\limits_{x\to 2}\frac{f(x)-5}{x-2}=100$?

Supongo que no usamos la regla de L'Hospital aquí. A continuación,$\lim\limits_{x\to 2}f(x)-5=0$, $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=5.$

Dudo mucho que la respuesta, podría alguien ayudarme a entender?

Answer 1

Tenga en cuenta que el numerador debe ser $0$ a fin de obtener la forma indeterminada, de lo contrario, el límite será simplemente se $\pm \infty$, por lo tanto debemos tener $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=5$.

Así que sí, tu respuesta es correcta.

Answer 2

Escribir primero $$\lim\limits_{x \to 2} f(x)=\lim\limits_{x \to 2}\left[\frac{f(x)-5}{x-2}(x-2)+5\right]$$ and since three limits exist $$=\lim\limits_{x \to 2}\frac{f(x)-5}{x-2}\lim\limits_{x \to 2}(x-2)+\lim\limits_{x \to 2}5=100\cdot0+5=5.$$

---

La prueba de la afirmación de que EdwardJiang utilizado: Si $$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=b \text{ and } \lim\limits_{x \to a} g(x)=0$$ then $$\lim\limits_{x \to a} f(x)=\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}g(x)=\text{(limits exist)}\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\lim\limits_{x \to a} g(x)=b\cdot 0=0.$$ (Quizás me equivoco pero) yo no estoy de acuerdo acerca del uso de esta información sin la prueba en esta pregunta. Esta cuestión es, en realidad, se trata de mostrar esto como un ejemplo.