El punto es que cuando se está interesado en las propiedades de una teoría que son en realidad el estudio de la teoría dentro de un meta-teoría, donde se define lo que una teoría es, ¿qué es de los modelos y lo que significa que es consistente.
Generalmente este meta-teoría es un conjunto de teoría y uno utilizar el sistema deductivo de este meta-teoría para demostrar las propiedades de la teoría que está siendo estudiado.
Claramente esto significa que la consistencia de las pruebas se basan en el hecho de que el sistema formal está usando para demostrar que ellos (la meta-teoría) no es prueba de contraddictions, que es consistente.
Por supuesto, usted puede demostrar que su meta-teoría es consistente, pero con el fin de hacer que usted necesitaría una meta-teoría en la que usted puede probar que su teoría es consistente, pero que se acaba de barrer el polvo debajo de la alfombra llevaría a una secuencia infinita de teorías en las que cada elemento de prueba la consistencia de la anterior teoría.
Uno podría desprecio de sí mismo para ser capaz de probar la consistencia de una meta-teoría en sí mismo, que es el estudio de la meta-teoría el uso de sí mismo como la meta-teoría. Por desgracia, esto no sería una gran solución, porque si una meta-teoría fue capaz de demostrar su propia consistencia esto no sería suficiente para demostrar que no puede demostrar contraddictions: debido a un sistema formal que es incoherente es capaz de probar todo, incluso su propia consistencia.
Que debe dejar claro que este problema es inevitable, en algún momento tenemos que elegir una meta-teoría y tenemos que hacer un acto de fe, creyendo que es consistente.
Generalmente se usan los matemáticos set-teoría (ZFC o NBG o de otro tipo de la teoría de conjuntos) como meta-teorías.
La elección de la teoría de conjuntos como meta-teoría es debido a muchas razones diferentes:
- toda la clase de teoría de conjuntos inventado hasta ahora son comprobable equivalente (en un buen sentido) y nadie ha sido capaz hasta ahora de probar una contraddiction en ellos
- nuestras mentes están acostumbrados a pensar en términos de colecciones y así la teoría de conjuntos de ser un sistema formal de razonamiento con las colecciones es muy atractivo como una meta-teoría
- hemos hecho la teoría de conjuntos para muchos años, así que somos muy fuertes con la teoría de conjuntos y que hacen muy razonable para el uso de esta teoría como meta-teoría.
Por supuesto, también hay otras razones que justifican la elección de la teoría como meta-teoría aquí he enumerado sólo algunos de los que vinieron a mi mente.
Espero que esto ayude.
