Factorizar $x^4+16x-12$ sobre los reales

Question

Factorizar $x^4+16x-12$ sobre los reales.

El factor es $x^4+16x-12=(x^2-2x+6)(x^2+2x-2)$

Se puede volver a factorizar pero estoy atascado en este paso.Si queremos sumar y luego restar tenemos un montón de cosas que sumar y restar.Otra idea que vi en los libros es escribir así:

$x^4+16x-12=(x^2+ax+b)(x^2+a'x+b')$

y luego encontrar $a,b,b',a'$ pero hay dos problemas que no puedo encontrar aquí y podemos decir que tal vez se puede factorizar en un grado $3$ y un grado $1$ polinomio.

¿No hay una buena manera de factorizar esto?

Answer 1

Se puede comprobar que no es lineal-cúbica buscando las raíces racionales, que deben tener la forma $p/q$ donde $p$ divide 12 y $q$ divide 1. Si esto no funciona, la siguiente opción es el producto de la cuadratura.

Answer 2

@JohnHughes explica cómo encontrar que no es un factor cúbico por lineal. Una vez que lo descubras, sabemos que es un cuadrático por cuadrático. Para resolver esto, voy a partir de la ecuación que tenías: $$x^4+16x-12=(x^2+ax+b)(x^2+a'x+b')$$ Amplía el lado derecho: $$x^4+16x-12=x^4+(a+a')x^3+(b+b'+aa')x^2+(ab'+ba')x+bb'$$ Ahora, tenemos $0x^3$ en el lado izquierdo y $(a+a')x^3$ en el lado derecho, por lo que tenemos $a+a'=0 \implies a'=-a$ . Además, tenemos $-12$ como nuestra constante en el lado izquierdo y $bb'$ como nuestra constante en el lado derecho, por lo que tenemos $bb'=-12 \implies b'=-\frac{12}b$ . Sustituto: $$x^4+16x-12=x^4+\left(b-\frac{12}{b}-a^2\right)x^2+\left(-\frac{12a}{b}-ab\right)x-12$$ Tenemos $0x^2$ y $+16x$ en el lado izquierdo, por lo que comparando tal con el $x^2$ y $x$ coeficientes en el lado derecho, obtenemos las siguientes ecuaciones: $$b-\frac{12}{b}-a^2=0$$ $$-\frac{12a}{b}-ab=16$$ Multiplica ambos lados por ambas ecuaciones $b$ : $$b^2-12-ba^2=0$$ $$-12a-ab^2=16b$$

Sin embargo, en lugar de adivinar y comprobar, podemos resolver para $a$ en términos de $b$ en la segunda ecuación (elijo la segunda ecuación porque es más fácil): $$a=\frac{-16b}{12+b^2}$$ Ahora, recuerda que $b$ es un factor de $12$ desde $bb'=-12$ Así que $b \in \{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\}$ . Adivinar y comprobar los valores de $b$ y resolver para $a$ . Cuando se obtiene un valor entero de $a$ , sabes que has resuelto el problema, así que sustituye de nuevo en $a+a'=0$ para encontrar $a'$ y $bb'=-12$ para encontrar $b'$ .

Answer 3

$$x^4+16x-12=(x^4+4x^2+4)-(4x^2-16x+16)$$

Answer 4

Lo que se quiere es demostrar que el cúbica resolvente asociada a la cuártica tiene una raíz racional. Mira este método basado en la "solución general" habitual para los cuárticos:

Asumir una factorización si la forma:

$x^4+px^2+qx+r=$

$(x^2-2\sqrt{s}x+t_1)(x^2+2\sqrt{s}x+t_2)$

A continuación, amplíe el lado derecho y haga coincidir términos de grado similar:

Grado 4: $1=1$ (forzado)

Grado 3: $0=0$ (forzado)

Grado 2: $p=-4s+(t_1+t_2)$

Grado 1: $q=(2\sqrt{s})(t_1-t_2)$

Grado 0: $r=t_1t_2$

Podemos tratar las ecuaciones de grado 2 y grado 1 como un sistema lineal para $t_1, t_2$ en términos de $s$ y luego shbstituir la solución de este sistema en la ecuación de grado 0. Ahora esa ecuación contiene sólo $s$ como incógnita, y tras las simplificaciones habituales obtenemos este resolvente cúbico:

$s^3-(p/2)s^2+((p^2-4r)/16)s-(q^2/64)=0$

Esta ecuación cúbica tiene tres raíces que corresponden a tres formas en las que las raíces cuádricas podrían emparejarse para hacer factores cuadráticos. Si se puede encontrar una raíz racional de esta cúbica resolvente se obtiene una factorización cuadrática simplificada.

Aquí, el resolvente cúbico es

$s^3+3s-4=0$

con la raíz racional $s=1$ . Entonces tenemos una factorización

$(x^2-2x+t_1)(x^2+2x+t_2)$

donde $t_1,t_2$ se determinan como en el caso anterior con la raíz cúbica resolvente conocida $s=1$ en las ecuaciones de grado 2 y grado 1. Así, el sistema lineal para los coeficientes constantes da $t_1=6$ , $t_2=-2$ .