Método para encontrar $\sin (2\pi/7)$

Question

Acabo de pensar que una manera de encontrar $\sin\frac{2}{7}$ .

Considerando la ecuación $x^7=1$

$(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0$

$(x-1)[(x+\frac1 x)^3+(x+\frac1 x)^2-2(x+\frac1 x)-1]=0$

Podemos entonces obtener las 7 soluciones de x, pero los pasos serán muy complicados, sobre todo al resolver la ecuación cúbica, y expresar x como a+bi. La parte imaginaria de la segunda raíz de x será $\sin\frac{2}{7}$ .

Además de esta problemática forma, ¿hay algún otro enfoque? Gracias.

Answer 1

Sólo para reírnos, al menos en principio podemos calcular $\cos{(\pi/7)}$ observando que

$$\sin{\frac{3 \pi}{7}} = \sin{\frac{4 \pi}{7}}$$

Usando una combinación de foros de doble ángulo, terminamos con una ecuación cúbica para $\cos{(\pi/7)}$ :

$$8 \cos^3{\frac{\pi}{7}} - 4 \cos^2{\frac{\pi}{7}} - 4 \cos{\frac{\pi}{7}}+1=0$$

Esta ecuación tiene una solución real que es $\cos{(\pi/7)}$ . La mala noticia es que la expresión es, en el mejor de los casos, poco manejable:

$$\cos{\frac{\pi}{7}}=\frac{1}{6} \left(1+\frac{7^{2/3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-1+3 i\sqrt{3}\right)}}+\sqrt[3]{\frac{7}{2} \left(-1+3 i \sqrt{3}\right)}\right)$$

La parte imaginaria de esta expresión es, por supuesto, cero. La parte real, sin embargo, termina siendo expresada en términos de un seno y coseno de otro ángulo, y creo que el objetivo de un ejercicio como este es no hacer eso. En fin, espero que esto aporte algo a la discusión anterior.

Answer 2

Objetivo=> $\sin\frac{2\pi}{7}$

set $$\sqrt[7]{1}=^{k}_{7}$$ $$^{k}_{7}=e^{\frac{2ki\pi}{7}}$$ como séptima raíz de la unidad por lo tanto, las afirmaciones se aplican $$^{1}_{7}+^{2}_{7}+^{3}_{7}+^{4}_{7}+^{5}_{7}+^{6}_{7}+1=0$$ $$^{k}_{7}=\cos\frac{2k\pi}{7}\pm i\sin\frac{2k\pi}{7}$$ $$^{-k}_{7}=\cos\frac{2k\pi}{7}\mp i\sin\frac{2k\pi}{7}$$ $$^{k}_{7}+^{-k}_{7}=2\cos\frac{2k\pi}{7}$$ $$^{k}_{7}-^{-k}_{7}=\pm2i\sin\frac{2k\pi}{7}$$ $$^{2k}_{7}-2+^{-2k}_{7}=-4\sin^2\frac{2k\pi}{7}$$ $$2\cos\frac{4k\pi}{7}-2=-4\sin^2\frac{2k\pi}{7}$$ $$\sqrt{2\cos\frac{4k\pi}{7}-2}=\pm2i\sin\frac{2k\pi}{7}$$ el $$^{1}_{7}+^{2}_{7}+^{3}_{7}+^{4}_{7}+^{5}_{7}+^{6}_{7}+1=0$$ nos da el polinomio cúbico irreducible $$t^3+t^2-2t-1=0$$ donde $$t_{k}=2\cos\frac{2k\pi}{7}$$ aplicando el resolvente de lagrange para la cúbica $$-1=t_{1}+t_{2}+t_{3}$$ $$r_1=t_{1}+^{1}_{3}t_{2}+^{2}_{3}t_{3}$$ $$r_2=t_{1}+^{2}_{3}t_{2}+^{1}_{3}t_{3}$$ donde $^{2}_{3}$ es la raíz cúbica de la unidad, aplicando la transformada discreta de Fourier inversa $$3t_{1}=-1+r_1+r_2$$ $$3t_{2}=-1+^{2}_{3}r_1+^{1}_{3}r_2$$ $$3t_{3}=-1+^{1}_{3}r_1+^{2}_{3}r_2$$ en la acción del método de lagrange, el resolvente de lagrange da $$r^3_1=7\left(3^{1}_{3}-1\right)$$ $$r^3_2=7\left(3^{2}_{3}-1\right)$$ ahora... $$r_1=\sqrt[3]{7\left(3^{1}_{3}-1\right)}$$ $$r_2=\sqrt[3]{7\left(3^{2}_{3}-1\right)}$$ $$^{1}_{3}=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$$ $$^{2}_{3}=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$$ $$r_1=\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}$$ $$r_1=\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}$$ $$3t_{1}=-1+r_1+r_2$$ $$3t_{2}=-1+^{2}_{3}r_1+^{1}_{3}r_2$$ $$3t_{3}=-1+^{1}_{3}r_1+^{2}_{3}r_2$$ $$3t_{1}=-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}$$ $$3t_{2}=-1+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}$$ $$3t_{3}=-1+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}$$ $$2\cos\frac{2\pi}{7}=\frac{-1+\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}}{3}$$ $$2\cos\frac{4\pi}{7}=\frac{-1+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}}{3}$$ $$2\cos\frac{6\pi}{7}=\frac{-1+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}}{3}$$ $$\sqrt{2\cos\frac{4k\pi}{7}-2}=\pm2i\sin\frac{2k\pi}{7}$$ $$\sqrt{t_{2k}-2}=2i\sin\frac{2k\pi}{7}$$ $$\sqrt{t_{2}-2}=2i\sin\frac{2\pi}{7}$$ $$\sqrt{t_{4}-2}=2i\sin\frac{4\pi}{7}$$ $$\sqrt{t_{6}-2}=2i\sin\frac{6\pi}{7}$$ $$t_{4}=t_{3}$$ $$t_{6}=t_{1}$$ $$\sqrt{t_{2}-2}=2i\sin\frac{2\pi}{7}$$ $$\sqrt{\frac{-1+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}}{3} -2}=2i\sin\frac{2\pi}{7}$$ $$\sqrt{\frac{-7+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}}{3}}=2i\sin\frac{2\pi}{7}$$ $$\sqrt{\frac{3\left(-7+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}\right)}{9}}=2i\sin\frac{2\pi}{7}$$ $$\frac{\sqrt{3\left(-7+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}\right)}}{3}=2i\sin\frac{2\pi}{7}$$ Así que.., $$\sin\frac{2\pi}{7}=\frac{\sqrt{-3\left(-7+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1+3\sqrt{-3}\right)}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\sqrt[3]{\frac{7}{2}\left(1-3\sqrt{-3}\right)}\right)}}{6}$$

Answer 3

Utilizando ce o Punto# $24$ de ce ,

$\sin 7x=7s-56s^3+112s^5-64s^7$ donde $s=\sin x$

Si $\sin 7x=0,7x=n\pi$ donde $n$ es un número entero cualquiera.

Así que, $x=\frac{n\pi}7$ donde $n=0,1,2,3,4,5,6$

Por lo tanto, las raíces de $7s-56s^3+112s^5-64s^7=0--->(1)$ son $\sin\frac{n\pi}7$ donde $n=0,1,2,\cdots 5,6$

Por lo tanto, las raíces de $64s^6-112s^4+56s^2-7=0--->(2)$ son $\sin\frac{n\pi}7$ donde $n=1,2,\cdots 5,6$

Por lo tanto, las raíces de $64t^3-112t^2+56t-7=0 --->(3)$ son $\sin^2\frac{n\pi}7$ donde $n=1,2,4$ o $3,5,6$ como $\sin \frac{(7-r)\pi}7=\sin(\pi-\frac{r\pi}7)=\sin\frac{r\pi}7$

Si elegimos $n=1,2,4$ observe que $\sin^2\frac{4\pi}7-\sin^2\frac{2\pi}7=2\sin\frac{\pi}7\cos\frac{3\pi}7>0$ (Utilizando $\sin^2A-\sin^2B=\sin(A+B)\sin(A-B)$ )

De la misma manera, $\sin^2\frac{2\pi}7-\sin^2\frac{\pi}7>0$

Así que, $\sin^2\frac{4\pi}7>\sin^2\frac{2\pi}7>\sin^2\frac{\pi}7$

Utilizando El método de Cardano podemos resolver la ecuación cúbica $(3)$