Deje $V$ ser una completa normativa espacio. Deje $W$ ser un adecuado subespacio vectorial. Puede $W$ ser la intersección de una secuencia de abiertos densos de subconjuntos de a $V$?
Si existe un abierto denso adecuada subespacio vectorial, a continuación, este problema sería absurdo. Así como también el problema de arriba, quiero preguntar: ¿por qué no existe un abierto denso adecuada subespacio vectorial de un espacio de Banach?
Para tu segunda pregunta: Una adecuada subespacio $Y$ de una normativa espacio de $X$ automáticamente satisface $X = Y$ ya que debe contener una bola centrada en cero, y por lo tanto, cualquier vector de $x \in X$ (a ver que: debe haber un $\lambda > 0$ tal que $\lambda x$ reside en que la pelota; ahora desde $\lambda x \in Y$, también tenemos $x \in Y$.
No, $W$ no puede ser la intersección de abiertos densos subconjuntos por el siguiente resultado de Pettis:
Deje $G$ ser un grupo topológico y deje $A \subseteq G$ que no sea un exiguo subconjunto de tener la propiedad de Baire. A continuación, $A^{-1}A$ contiene un barrio de la identidad de $G$.
Ver Kechris, Clásica descriptivo de la teoría de conjuntos, Teorema (9.9), pág.61 o Srivastava, Un Curso sobre los conjuntos de Borel, el Teorema de 3.5.12, página 110f para pruebas.
Suponga que el subespacio $W$ es denso en el espacio de Banach $V$ y asumir que $W$ es una contables intersección de bloques abiertos. Por la categoría de Baire teorema de la no-magro y $W$ tiene la propiedad de Baire. Desde $W$ es un subespacio, $W = W-W$, lo $W$ contiene una vecindad de cero por Pettis del teorema. Desde $W$ es invariante bajo las traducciones realizadas por los elementos de a $W$, se deduce que el $W$ está abierto, y desde abrir subespacios cerrados, $V = W$.
De manera más general, este argumento muestra que una densa subgrupo con la propiedad de Baire conectado un grupo topológico es escaso o de todo el grupo. Nate Eldredge señala que la asunción de la propiedad de Baire es necesario aquí: El núcleo de un discontinuo lineal funcional es densa, no escasos y tiene la propiedad de Baire, ver este MO-post: http://mathoverflow.net/questions/3188/
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