Me ha dado un campo vectorial que tiene una evidente singularidad en un punto de $(a,b)$. Con el fin de aprender más acerca de la singularidad yo coloque un círculo alrededor de ella con la singularidad en su centro. La integral de línea del campo a través del círculo me da $18\pi \,r$. ¿Qué conclusión se puede llegar desde la solución a la integral de línea?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Qué quiere decir "a lo largo del círculo"? Si es así, la integral de línea le dice que la singularidad es de la forma $(-9y/r,9x/r$). Las dos dimensiones de "curl" de que el vector de campo es
$$ \def\parte#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \la parte x\frac{9}r+\parte y\frac{9y}r=\frac9r\;. $$
Por el Verde del teorema dela integral de la curvatura sobre el interior del círculo es igual a la integral de línea a lo largo del círculo, y de hecho
$$\int_0^r\mathrm dr' r'\int_0^{2\pi}\mathrm d\phi\frac9{r'}=18\pi r\;.$$
(Este es el solenoidal componente del campo; el campo también puede tener un irrotacional componente que no contribuye a la integral de línea.)
