Claramente, $\mathsf{AD}_\omega$ implica $\mathsf{AD}_2$: Dado $A\subseteq2^\omega$, asociado a que el juego de los números enteros, donde el primer jugador a jugar un número en $2$ pierde, y si ambos juegan sólo $0$s y $1$s, entonces me gana si el resultado real es de $A$. Este juego es $G_\omega(A^*)$ algunas $A^*$ (fácilmente definibles de $A$). Claramente, los juegos son equivalentes, en el sentido de que a partir de una estrategia para el jugador en $G_\omega(A^*)$ uno consigue fácilmente una estrategia para el mismo jugador en $G_2(A)$.
(El mismo argumento muestra que el $\mathsf{AD}_Y$ implica $\mathsf{AD}_X$ siempre $X,Y$ son no vacías, y $X$ inyecta en $Y$. En particular, $\mathsf{AD}_{\mathbb R}$ implica $\mathsf{AD}_\omega$.)
Por el contrario, uno puede asociar a cada una de las $A\subseteq\omega^\omega$$A^*\subseteq2^\omega$, de modo que $G_\omega(A)$ $G_2(A^*)$ son equivalentes, en el sentido de que una estrategia para el jugador en el último juego (fácil) nos da una estrategia para el mismo jugador en el anterior juego.
Por ejemplo, dada $A$, podemos considerar el juego donde ambos jugadores juegan $1$s y $0$s. Deje $x\in 2^\omega$ ser la real que producen. Si sólo se juega un número finito de $0$s, entonces nos pusimos $x\notin A^*$. Si este no es el caso, y II sólo juega un número finito de $0$s, a continuación,$x\in A^*$. Finalmente, si ambos jugadores jugaron $0$ infinitamente a menudo, entonces:
Definimos una función de $\pi$ mediante el establecimiento $\pi(x)=(n_0,n_1,\dots)\in\omega^\omega$. Dicen que la primera $k$ se mueve de I se $1$s y $k+1$-st es $0$. A continuación,$n_0=k$. Es irrelevante lo que II se ha ido moviendo hasta ahora. Decir que, una vez que haya jugado a este primer $0$, la próxima $j$ se mueve de II se $1$, y II a pasar después de es $0$. A continuación,$n_1=j$. Es irrelevante lo que me ha estado jugando mientras tanto. Decir que, una vez II ha jugado esta $0$, la próxima $l$ se mueve de I se $1$s, y su $l+1$-st es $0$. A continuación,$n_2=l$. Etc.
Se requiere $\pi^{-1}(A)\subseteq A^*$$\pi^{-1}(A^c)\subseteq (A^*)^c$. De nuevo, es fácil ver que una estrategia para el jugador en $G_2(A^*)$ nos da una estrategia para que muy jugador en $G_\omega(A)$.
Una manera de mostrar que $\mathsf{AD}_{\mathbb R}$ es estrictamente más fuerte que $\mathsf{AD}_\omega$ es estudiar el grado de uniformización:
En $\mathsf{AD}_{\mathbb R}$ cualquier $A\subseteq\mathbb R^2$ puede ser uniformized. Recordemos que esto significa que hay un $f:{\rm dom}(A)\to\mathbb R$ $(x,f(x))\in A$ todos los $x\in{\rm dom}(A)$ donde ${\rm dom}(A)$ es el conjunto de $x$, para los que hay un $y$$(x,y)\in A$.
Para ver esto, considere simplemente (dos-move!) juego donde me juega una real $x$ y II responde con un $y$, y II gana iff bien $x\notin{\rm dom}(A)$ o más $(x,y)\in A$.
Claramente, no puedo tener una estrategia ganadora, por lo $\mathsf{AD}_{\mathbb R}$ nos da una función que uniformizes $A$.
Por otro lado, si $\mathsf{AD}_\omega$ mantiene, entonces se mantiene en $L(\mathbb R)$. Pero un argumento bien conocido de Solovay nos da que si $L(\mathbb R)$ no es un modelo de elección (como es el caso en $\mathsf{AD}_\omega$), entonces se cumple que existe un $A\subseteq\mathbb R^2$ que no puede ser uniformized: Trabajo en $L(\mathbb R)$, y deje $A=\{(x,y)\mid y$ no es ordinal definible de $x\}$.
Si $A$ es uniformizable, vamos a $f$ ser una uniformización. A continuación, $f$ es ordinal definibles a partir de algunos de los verdaderos $x_0$ (porque en $L(\mathbb R)$ cada conjunto es ordinal definibles a partir de algunos de los verdaderos). Pero, a continuación, $y_0=f(x_0)$ es ordinal definible de $x_0$, e $(x_0,y_0)\in A$, una contradicción.
Hay otros argumentos: Por ejemplo, también se puede demostrar que, de hecho, $\mathsf{AD}_{\mathbb R}$ es bastante más consistencia sabio de $\mathsf{AD}_\omega$; y Solovay reveló que el ex teoría implica la existencia de $\mathbb R^\sharp$, que por supuesto es incompatible con $V=L(\mathbb R)$.
