Función discontinua sólo para fracciones enteras

Question

Tengo esta pregunta:

Encontrar una función $f :\mathbb R \to\mathbb R$ que es discontinuo en los puntos del conjunto $\{\frac1n : n \text{ a positive integer}\} \cup \{0\}$ pero es continua en todas partes en los demás casos.

Realmente no sé qué hacer. Estaba pensando que tal vez: $$ f(x) = \begin{cases} 1 \quad&\text{if }x=0 \\ 0 &\text{if } x \text{ is in } \{\tfrac1n : n \text{ a positive integer}\}\\ x &\text{otherwise} \end{cases} $$ Pero eso parece una especie de "trampa". ¿Hay algún ejemplo mejor?

EDIT: Sería mejor tener:

$$ f(x) = \begin{cases} 1 &\text{if } x \text{ is in } \{\tfrac1n : n \text{ a positive integer}\}\cup \{0\}\\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} $$

Answer 1

Puede modificar la función de la parte fraccionaria: $ \{x\} = \lceil x \rceil - x $ que es discontinuo en los números enteros; a

$$ f(x) = \begin{cases} 0 & ; x = 0 \\ \left\{\dfrac{1}{x}\right\} & ; otherwise \end{cases} $$

Answer 2

Voy a asumir que su verdadero pregunta es encontrar una respuesta que no consideres "tramposa".

Pregunta/Problema
Encontrar una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f$ es discontinua en cada punto de $K\overset{\text{def}}{=}\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\text{ and }n\ne 0\}\cup\{0\}$ y $f$ es continua en cada punto del complemento de $K$ que se denomina $(\mathbb{R}\setminus K)$

Respuesta general
Dejemos que $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función continua arbitraria. Sea $\epsilon>0$ sea un número real positivo arbitrario.

Su respuesta editada tiene $g$ sea la función cero y $\epsilon$ sea $1$

Definir $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ por $$f(x)=\begin{cases} g(x)+\epsilon&\text{if }x\in K\\ g(x)&\text{if }x\in(\mathbb{R}\setminus K) \end{cases}$$ por cada $x\in\mathbb{R}$ donde $K\overset{\text{def}}{=}\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\text{ and }n\ne 0\}\cup\{0\}$ .

La razón por la que introduzco " $K$ " es porque este método se puede utilizar para cualquier ninguna parte densa set $K$ donde se quiere que haya discontinuidades. El conjunto que te han dado no es especial para este problema. Sin embargo, es un ejemplo clásico de conjunto compacto, pero eso no es relevante para tu problema.

Answer 3

Poner $A = \{\frac{1}{n}\mid n \geq 1\}$ y

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \begin{cases} 0 \quad x \notin A\cup \{0\} \\ 1 \quad x \in A \cup \{0\} \end{cases}$$