La intuición detrás de uniforme de funciones continuas

Question

Estoy tratando de tener una intuición detrás del uniforme de funciones continuas. Algo para mostrar a mis alumnos. Por ejemplo, antes de dar la definición formal y algunos ejemplos de funciones continuas, podemos decir a los principiantes que a grandes rasgos, funciones continuas son funciones sin "agujeros", por eso el nombre de "continuo".

¿Qué acerca de uniforme de funciones continuas? hay algunas ideas para dar a los estudiantes para darles una intuición detrás de estas funciones, antes de mostrar la definición formal?

Gracias

Answer 1

Aquí voy a dar la vida real una heurística en las líneas de la explicación dada por Michael Hardy.

Por lo general, cuando uno de nosotros mueva su ratón un poco (desplazamiento infinitesimal) sucede que la flecha en la pantalla se mueve un poco demasiado (infinitesimal de desplazamiento), es lo que nos espera en el ratón, esto es "uniformemente continua". Sin embargo, a veces uno intenta mover un poco el ratón (desplazamiento infinitesimal), pero la flecha se queda en el mismo lugar hasta que de repente salta a algunos "lejos" de lugar (no-desplazamiento infinitesimal); es lo que no se espera de un ratón, este NO es uniformemente continua).

Answer 2

• Si $f$ es continua y $x$ es real y $dx$ es infinitesimal, a continuación, $dy=f(x+dx)-f(x)$ es infinitesimal.

• Si $f$ es uniformemente continua y $dx$ es infinitesimal, a continuación, $dy=f(x+dx)-f(x)$ es infinitesimal, incluso si $x$ no es real, es decir, si $x$ difiere de un número real por un ser infinitamente grande o infinitamente pequeña cantidad.

Y sólo si. En los dos casos anteriores.

Por ejemplo:

• Supongamos $f(x) = \sin\dfrac 1 x$. Si $x\ne0$ es infinitamente cercana a $0$ $f(x)$ puede cambiar de $1$ $-1$mientras $x$ cambios por una infinitamente pequeña cantidad, por lo que el cambio en $f(x)$ no es infinitesimal. Por lo tanto esta función no es uniformemente continua en a $\mathbb R\setminus\{0\}$.
• Supongamos $f(x) = e^x$. Si $x$ es infinitamente grande, $f(x)$ puede aumentar por $1$ mientras $x$ aumenta por una infinitamente pequeña cantidad. Por lo que esta función no es uniformemente continua en a $\mathbb R$.

Esto puede funcionar como un mero heurística, pero también puede ser demostrado rigurosamente en el contexto de Robinson no estándar de análisis.

Answer 3

Uniformemente continuons funciones transforma secuencias de Cauchy en secuencias de Cauchy pero continuons funciones no necesariamente (ver$x_n=1/n$$f(x)=1/x$$(0,1]$)

Answer 4

Para el uniforme de la continuidad, el valor de $\delta$ sólo depende de $\varepsilon$ y no en el punto de $x$. (Por lo que el mismo $\delta$ obras "uniformemente" a través de todos los puntos en el intervalo bajo discusión.)

En contraste, la continuidad, el valor de $\delta$ puede depender de $\varepsilon$ y el punto de $x$ bajo discusión.