3 funciones holomorfas, la suma de los valores absolutos no tiene máximo

Question

Tengo el siguiente problema:

Sean $f, g, h$ funciones holomorfas (no constantes) en algún dominio $D$. Muestra que la función $F(z):=|f(z)|+|g(z)|+|h(z)|$ no tiene un máximo local en este dominio $D$.

¿Alguien puede dar un esbozo de la prueba?

Answer 1

Si $f$ es una función holomorfa no constante, entonces $|f|$ es estrictamente subarmónica (lejos de los ceros de $f$, es decir, donde $|f|$ es suave, es fácil ver que $\Delta |f|>0$, ya que $\Delta\log|f|=0$). Esto significa (por definición) que el valor medio de $|f|$ en un círculo es estrictamente mayor que el valor en el centro. $F$ es la suma de 3 funciones estrictamente subarmónicas, por lo tanto es estrictamente subarmónica, por lo que no puede tener máximos locales.