Probar esta Complicada la Desigualdad

Question

Vamos $a$, $b$, $c$ ser números reales positivos tales que $a^2 + b^2 + c^2 + (a + b + c)^2 \le 4$. Demostrar que $$\frac{ab + 1}{(a + b)^2} + \frac{bc + 1}{(b + c)^2} + \frac{ca + 1}{(c + a)^2} \ge 3.$$

Deje $x = a + b, y = b + c, t = a + c$, Entonces la INEQ se convierte,

$$\frac{ab + 1}{(x)^2} + \frac{bc + 1}{(y)^2} + \frac{ca + 1}{(t)^2} \ge 3.$$

Cualquier sugerencias?

Answer 1

$x = a+b,y= b+c,z = c+a$, luego

$$x^2 + y^2 + z^2 \le 4$$

el problema se convierte en

$$\sum\frac{4 + (x+z-y)(x+y-z)}{4x^2}=\sum \frac{4 + x^2 - y^2 - z^2 + 2yz}{4x^2}$$

$$=\sum\frac{4-x^2 - y^2 -z^2 + 2x^2 + 2yz}{4x^2}\ge \sum\frac{2x^2 + 2yz}{4x^2} $$

$$=\sum \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\frac{yz}{x^2}\right)\ge \frac{3}{2} +\frac{1}{2}\cdot 3\left(\prod\frac{yz }{x^2}\right)^{1/3} = 3$$