Prueba conceptual de la reciprocidad cuadrática

Question

¿Qué es una prueba conceptual de la reciprocidad cuadrática? He visto la prueba de la wiki usando maquinaria algebraica. No sé qué son las extensiones de campo, los grupos de Galois, etc. Pero quiero entender cómo se relacionan las propiedades bajo diferentes primos de módulo. Siempre quise entender cómo se puede usar toda la información de los módulos p para entenderlos globalmente. Me gustaría saber si alguien puede explicar la reciprocidad cuadrática de una manera que pueda entender.

Answer 1

No creo que haya ninguna respuesta que sea a la vez elemental (comprensible sin saber qué son los campos, los grupos, etc.) y conceptualmente clara. Hay pruebas combinatorias como las de Zolotarev (véase. El lema de Zolotarev ) o la (¿de Eisenstein? o de Gauss?) que cuenta los puntos de la red bajo la línea que va de (0,0) a (p,q), pero apenas disipan el misterio.

Para "entender cómo se puede utilizar toda la información del módulo p para entenderlo globalmente", parece que no hay manera de evitar la interpretación de QR utilizando símbolos de Hilbert, o bien el enfoque mucho más exigente utilizando la teoría de campos de clases. En la formulación de los símbolos de Hilbert, hay un único objeto, el polinomio cuadrático $Q(x,y,z) = x^2 - py^2 - qz^2$ que tiene soluciones no nulas módulo cualquier primo $k$ que no sea $p$ o $q$ ; tiene mod $p$ y mod $q$ soluciones según los signos de los símbolos de Legendre; y obedece a una fórmula del producto que el producto de todos los $\pm$ signos en todos los primos es igual a $1$ . Se trata de una restricción global sobre la solvencia local en diferentes primos. La prueba de la fórmula del producto es, por supuesto, más complicada que las pruebas elementales de la reciprocidad cuadrática (se puede encontrar en muchos lugares, como el "curso de aritmética" de Serre), pero tiene la ventaja de ser un principio general que se aplica a otras situaciones.

Como puede imaginarse, la descripción de una sola frase de la fórmula del producto omite algunos detalles. Soluciones mod. $p$ no son suficientes, se necesitan soluciones mod $p^n$ para todos $n$ o, de forma equivalente, soluciones p-ádicas, pero para los primos Impares y para $Q(x,y,z)$ de grado 2 (es decir, menos de $p$ ) esto viene a ser lo mismo. Las soluciones reales se incluyen como un primo "infinito" (arquimediano) en la fórmula del producto. La solución 2-ádica y real " $\infty$ -Las soluciones "adicas" tienen que ser tratadas por separado como se refleja en la existencia de fórmulas suplementarias para los símbolos de Legendre que determinan la cuadratura de $2$ y $-1$ modulo impar primos. El punto básico es el mismo, que hay un $\pm 1$ signo para cada primo y una restricción de que el producto de todos los signos es $+1$ algo que es cierto para las formas cuadráticas más generales y para esta particular $Q$ se reduce al enunciado de la reciprocidad cuadrática.

La misma historia puede contarse en versiones cada vez más generales para los campos numéricos, los campos globales y las superficies de Riemann, traducida como un enunciado de localización en la teoría K, conectada a la teoría del campo de clases de los campos cuadráticos, (tal vez expresada en el lenguaje de los motivos), etc. Por mi parte, no veo cómo, incluso con estos 200 años adicionales de retrospectiva y una extensa teoría adicional, la fórmula de reciprocidad cuadrática es menos asombrosa de lo que era en la época de Euler y Lagrange.

Answer 2

Véase Davenport "The Higher Arithmetic" para un enfoque elemental. Véase también "An Introduction to the Theory of Numbers" para varias aproximaciones a la demostración de la reciprocidad cuadrática.