Quiero encontrar la solución del siguiente problema de valor inicial: $$u_{tt}(x, t)-u_{xt}(x, t)=f(x, t), x \in \mathbb{R}, t>0 \\ u(x, 0)=0, x \in \mathbb{R} \\ u_t(x, 0)=0, x \in \mathbb{R}$$
usando el Verde del teorema, pero me quedé atrapado...
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He encontrado el siguiente ejemplo en mis notas: $$u_{tt}-c^2u_{xx}=f(x, t), x \in \mathbb{R}, t>0 \\ u(x, 0)=0, x \in \mathbb{R} \\ u_t(x, 0)=0, x \in \mathbb{R}$$
$$\iint_{\Omega}[u_{tt}(x, t)-c^2u_{xx}(x, t)]dxdt=\iint_{\Omega}f(x, t)dxdt=\int_0^{t_0} \left (\int_{x_0-ct_0+ct}^{x_0+ct_0-ct}f(x, t)dx\right )dt \tag 1$$
$$\iint_{\Omega}\left [\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{t}}\right ]dxdt=\int_{\partial{\Omega}}Pdx+Qdt$$
$$Q(x, t)=-c^2u_x \\ P(x, t)=-u_t$$
$$\iint_{\Omega}\left [u_{tt}(x, t)-c^2u_{xx}(x, t)\right ]dxdt=\int_{\partial{\Omega}}\left [-u_t(x, t)dx-c^2u_x(x, t)dt\right ]=\int_{C_1} [ \ \ ]+\int_{C_2} [ \ \ ]+\int_{C_3} [ \ \ ]$$
$(\int_{C_1} [ \ \ ]=cu(x_0, t_0), \int_{C_2} [ \ \ ]=cu(x_0, t_0), \int_{C_3} [ \ \ ]=0)$
$$\int_{C_3}[-u_t(x, 0)dx-c^2u_x(x, 0)dt], \text{ where } u_t(x, 0)=0, u_x(x, 0)=0$$
$$C_1: x+ct=x_0+ct_0 \Rightarrow dx+cdt=0$$ $$\int_{C_1}(-u_tdx-c^2u_xdt=\int_{C_1}-u_t(-cdt)-c^2u_x\left (-\frac{dx}{c}\right )=\int_{C_1}cu_tdt+cu_xdx=c \int_{C_1}u_tdt+u_xdx=c\int_{C_1}du=c(u(x_0, t_0)-u(x_0+ct_0, 0))\overset{ u(x_0+ct_0, 0)=0 }{ = }cu(x_0, t_0) \ \ \ \ \ (2)$$
$$2cu(x_0, t_0)=\int_0^{t_0}\int_{x_0-ct_0+ct}^{x_0+ct_0-ct}f(x, t)dx$$
$$u(x_0, t_0)=\frac{1}{2c}\iint_{c(x_0, t_0)}f(x, t)dxdt$$
Me quedé atrapado en el siguiente:
Podría usted explicarme el primer gráfico??
¿Por qué son los límites de la integral en la relación $(1)$:$x_0-ct_0+ct$$x_0+ct_0-ct$ ??
¿Por qué pararse en la relación $(2)$ que $u(x_0+ct_0, 0)=0$ ??
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EDITAR:
Así, para el problema de $$u_{tt}(x, t)-u_{xt}(x, t)=f(x, t), x \in \mathbb{R}, t>0 \\ u(x, 0)=0, x \in \mathbb{R} \\ u_t(x, 0)=0, x \in \mathbb{R}$ $ ¿tenemos el siguiente??
Deje $P=(x_0, t_0)$.
Las dos características se $x=x_0$$x+t=x_0+t_0$.
Las características cruzan la línea de $t=0$ a los puntos de $A(x_0, 0)$$B(x_0+t_0, 0)$.
Así, obtenemos la siguiente región de influencia:
$$\iint_{\Omega}[u_{tt}(x, t)-u_{xt}(x, t)]dxdt=\iint_{\Omega}f(x, t)dxdt=\int_0^{t_0} \left (\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}f(x, t)dx\right )dt$$
$$\iint_{\Omega}\left [\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{t}}\right ]dxdt=\int_{\partial{\Omega}}Pdx+Qdt$$
$$Q(x, t)=-u_t \\ P(x, t)=-u_t$$
$$\iint_{\Omega}\left [u_{tt}(x, t)-u_{xt}(x, t)\right ]dxdt=\int_{\partial{\Omega}}\left [-u_t(x, t)dx-u_t(x, t)dt\right ]=\int_{C_1} [ \ \ ]+\int_{C_2} [ \ \ ]+\int_{C_3} [ \ \ ]$$
$$C_1: x+t=x_0+t_0 \Rightarrow dx+dt=0 \Rightarrow dx=-dt$$ $$\int_{C_1} \left [-u_t(x, t)dx-u_t(x, t)dt\right ]=\int_{C_1} \left [u_t(x, t)dt-u_t(x, t)dt\right ]=0$$
$$C_2: x=x_0 \Rightarrow dx=0$$ $$\int_{C_2} \left [-u_t(x, t)dx-u_t(x, t)dt\right ]= \int_{C_2} \left [-u_t(x, t)dt\right ]=-\int_{C_2} \left [du\right ]=u(x_0, t_0)-u(x_0, 0)=u(x_0, t_0)$$
$$C_3: t=0 \Rightarrow dt=0$$ $$\int_{C_3} \left [-u_t(x, 0)dx-u_t(x, 0)dt\right ]=0$$
Por lo tanto, tenemos $$u(x_0, t_0)=\int_0^{t_0} \left (\int_{x_0}^{x_0+t_0-t}f(x, t)dx\right )dt$$
Es esto correcto?? Podría mejorar algo??
