Puede alguien explicar el chi-cuadrado de distribución en los términos del laico

Question

Entiendo que el chi-cuadrado de distribución es el cuadrado de una distribución normal. Si X es una variable normal, ¿de qué estamos cuadrando, los valores de X o de las probabilidades correspondientes?

Soy incapaz de ver la explicación intuitiva de cómo por el cuadrado de una variable normal, puedo usar la resultante de la distribución para la prueba de hipótesis y el intervalo de confianza?

Answer 1

Digamos que usted tiene números aleatorios $x_i$. Cuando usted hace una estimación de la varianza de la serie, usted tiene que calcular sumas como $\sum_i x_i^2$. Si sus números son de distribución normal, entonces la suma es de $\chi^2$ distribución. Si usted necesita saber que los intervalos de confianza de la varianza de estimación, entonces usted puede utilizar $\chi^2$ distribución para llegar a ellos.

A menudo, sus números no son de distribución normal. Sin embargo, debido al teorema del límite central (CLT) las sumas de los no-normal de las variables aleatorias son todavía normales en algunos casos. Por lo tanto, si usted mira la media de la muestra, es a partir de la distribución normal $\bar x=\frac{1}{n}\sum_i x_i$. Por lo tanto, si usted quiere saber la varianza de la media muestral, tendrás que calcular la suma como $\sum_k \mu_k^2$ donde $k$ es una muestra. De nuevo, puede utilizar $\chi^2$ para obtener los intervalos de confianza de la varianza de la media muestral.

Answer 2

Su entendimiento es un poco deficiente. Un $\chi^2$ distribución $k$ grados de libertad surge como la suma de los cuadrados de $k$ independiente de la normal estándar se desvía.

Esto es útil para las pruebas de hipótesis cuando los datos (se supone que) siguen una distribución normal. Por ejemplo, en el caso de Pearson prueba de $\chi^2$ prueba de independencia, el estadístico de prueba se construye como la suma de cuadrados de las desviaciones de los valores previstos.

Answer 3

Como otros han mencionado, $\chi_{n}^2$ distribución es la distribución de la suma de $n$ (independientes idénticamente distribuidas) variables con distribuciones Normales (cada uno de media 0 y varianza 1). Pero cuando los estudiantes el primer encuentro de este concepto, se les dan las tablas para buscar probabilidades. Cómo son los derivados?

Vamos a empezar con $n=1$, por lo que, para cualquier $x \geq 0$, nuestra variable $\leq x$ si el subyacente de la variable normal es $\in \left[-\sqrt{x},\,\sqrt{x}\right]$, lo que ha probabilidad de $2\Phi\left(\sqrt{x}\right)-1$ donde $\Phi\left( x \right)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{-x^2/2}$. La diferenciación, el pdf es$x^{-1/2}\Phi'\left( x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\text{e}^{-x/2}$$x\geq 0$. La integración que comprobar es normalizado es equivalente al cálculo de $\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)$, por lo que la función característica resulta ser $\left( 1-2it \right)^{-1/2}$.

Ahora podemos generalizar arbitraria $n$ . La función característica se convierte en $\left( 1-2it \right)^{-n/2}$ . Por la inversión de la fórmula, el pdf en $\left[0, \,\infty\right]$ es proporcional a $x^{n/2-1}\text{e}^{-x/2}$ (por la sencilla razón de que un pdf de obtener el derecho característica de la función). Ahora sólo necesitamos la constante de proporcionalidad, es decir. $\frac{x^{n/2-1}\text{e}^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma\left(\frac{n}{2} \right)}$. Incluso para $n$ , primaria, expresión de la cdf puede ser obtenida a través de la integración; por extraño $n$ , obtenemos un resultado en términos de $\Phi$, tales como la obtenida anteriormente para el $n=1$ de los casos. El $n=2$ caso es especialmente simple, el pdf es $\frac{1}{2}\text{e}^{-x/2}$, lo cual es una distribución exponencial con $\lambda=\frac{1}{2}$.