Dada una función real $g$ cumplimiento de ciertas condiciones, podemos construir un convexo $h$$h \le g$?

Question

El siguiente es el Ejercicio 8 del Capítulo 3 de Rudin Real y el Análisis Complejo (no es una tarea problema, sólo por diversión).

Deje $g$ ser una función positiva en $(0, 1)$ tal que $g(x) \to \infty$$x \to 0$. ¿Existe una función convexa $h$ $(0, 1)$ tal que $h \le g$$h(x) \to \infty$$x \to 0$?

Esto parece cierto, pero no puedo demostrarlo. Todo lo que he sido capaz de hacer es reducir el problema a $g$ ser un monótono paso o función estrictamente monótona a trozos-función lineal, pero esto no se parece a obtener de mí en cualquier lugar. No estoy seguro de cómo utilizar la propiedad de $g$ para la construcción de la explícita $h$.

Answer 1

Voy a dar una pista hacia un argumento, y, a continuación, en la explicación de a) intuición acerca de las funciones convexas, y b) ¿por qué la construcción de la más óptima función convexa $h$ podría no ser posible.

En primer lugar, la sugerencia. Para cualquier no-vacío familia de funciones $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ acotada arriba por alguna función $g$, se puede construir una función suprema $f=\sup\{f_\alpha\}$$f(x)=\sup_{\alpha\in I}\{f_\alpha(x)\}$. Esta es una generalización de la menos superior bounder propiedad de los conjuntos de los números a los conjuntos de valores de las funciones.

Una propiedad de la cual usted puede no saber acerca de es que si la familia de funciones $\{f_\alpha\}$ se compone de las funciones convexas, luego de que la suprema función de $f=\sup\{f_\alpha\}$ también es convexo. Esto permite suficiente kilometraje a resolver su problema con la siguiente estrategia:

1. Demostrar que la función suprema de la bordeada por encima de las funciones convexas es convexa.
2. Mostrar que existe una función convexa $h$ tal que $h\leq g$ al $g$ está delimitado a continuación. Esto muestra que la familia de funciones convexas acotada arriba por $g$ tiene un supremo función convexa $f$.
3. Demostrar que si una función convexa $h$ tal que $h\leq g$ está acotada arriba por algún número $M\leq g(x)$ algunos $x$, entonces existe una función convexa $h'$ tal que $h<h'\leq g$$\sup_x\{h'(x)\}=M$.
4. (no constructiva) El paso anterior, se establece que la suprema función convexa $f$ (de cuya existencia se sabe de la no-forma constructiva) debe ser no acotada arriba por cualquier número de $M\leq g(x)$ algunos $x$. Desde $f$ es, de hecho, dominado por $g$, indican que por cada $a$, $g(x)\to\infty$ como $x\to a$ implica $f(x)\to\infty$ $x\to a$ (es decir, que cada polo de $g$ exige un polo de $f$; usted puede hacer esto mediante la inteligente restricción del dominio de los dominios donde $g$ habría sólo uno de los polos).
5. (constructiva) el Uso de la construcción de 2. para definir una secuencia infinita de acotados de las funciones convexas $h_1<h_2<\dots$ con supremums aumentar hasta el infinito que convergen a una desenfrenada convexo función dominado por $g$.

---

Segundo, la intuición. Una buena manera de pensar acerca de las funciones convexas es que $h$ es convexa en a $(0,1)$ si y sólo si el epígrafe $E_h=\{(x,y)\colon y\geq h(x)\}$ (el conjunto de todos los puntos en $(0,1)\times\mathbb R$ que se encuentran en o por encima de la gráfica de $h$) es convexa.

Los epígrafes son bastante buenos y útiles. Por ejemplo, podemos expresar la declaración de $h\leq g$ como la afirmación de que el epígrafe de $h$ contiene el epígrafe de $g$. Para ver esto, observe que $(x,y)\in E_g$ si y sólo si $y\geq g(x)$, y la suposición de que $g(x)\geq h(x)$ implica entonces que $y\geq h(x)$ y, por tanto,$(x,y)\in E_h$.

Para otro ejemplo, supongamos que $f=\sup\{f_\alpha\}$ es la función suprema de algunos delimitada por encima de la familia. En términos de los epígrafes, tenemos $E_f=\bigcap_{\alpha\in I}E_{f_\alpha}$, es decir, tomando supremums de funciones es el mismo como la intersección de sus epígrafes. Esto también explica por qué necesitamos la condición de que la familia de funciones está limitada anteriormente por alguna otra función -- si no tenemos esa condición, entonces la intersección de los epígrafes podría terminar faltan ciertas líneas. Por ejemplo, si nuestra familia de funciones se $0$ todas partes, excepto en $a$ donde $f_i(a)=i$, entonces la intersección de los epígrafes sería todo por encima de $y=0$, excepto para la línea de $x=a$.

El uso de rúbricas también podemos ver fácilmente que el supremo de una familia de bordeada por encima de las funciones convexas es una de las funciones convexas, desde entonces estamos simplemente intersección de conjuntos convexos cerrados (epígrafes son siempre conjuntos cerrados), y la convexidad de la teoría nos dice que la intersección arbitraria de conjuntos convexos nos da un conjunto convexo.

Además, casi podemos construir la suprema función convexa $f$ acotada arriba por $g$: es la función cuyo epígrafe es el cierre convexo casco del epígrafe de $g$. Este es entonces el problema con la determinación de $f$ explícitamente, a saber, la determinación de los límites de la cerrada casco convexo de un conjunto cerrado es (o me parece) difícil hacerlo en una forma útil (sólo podía mirar cómo las líneas horizontales que cruzan el epígrafe de $g$, rellene los segmentos entre los puntos de intersección, y mantener un seguimiento de los datos, sino que parece doloroso y difícil de usar para mostrar que $f$ es ilimitado en una manera diferente de lo que he descrito arriba).

Answer 2

Considerar el epígrafe de $g$, que es el conjunto de todos los puntos que se encuentran sobre o arriba de la gráfica de $g$; formalmente ${\rm epi}(g) = \{ (x,y) ~|~ x \in (0,1), y \geq g(x) \}$. Deje $h$ ser una función cuyo epígrafe es el cierre del casco convexo de ${\rm epi}(g)$. A continuación, $h$ hace el truco.

Para argumentar esto tenemos que demostrar: (1) existe una función de $h$ con la anterior propiedad (2) $ h \leq g$ (3) $h(x) \rightarrow \infty$ como $x \rightarrow 0$. (4) $h$ es convexa.

Los más fáciles son (2) y (4). (2) es equivalente a la afirmación de que ${\rm epi}(g) \subset {\rm epi}(h)$, lo que se sigue de la definición de $h$. Como para (4), la convexidad de una función es equivalente a la convexidad de su epígrafe, y el casco convexo de un conjunto es convexo; por otra parte, el cierre de un conjunto convexo es convexa.

El punto (3) no es difícil; simplemente reformular la afirmación de que $g(x) \rightarrow \infty$ $x \rightarrow 0$ como sigue: para cualquier $N>0$, no es lo suficientemente pequeño intervalo de $[0,\delta]$ que si $x$ se encuentra en este intervalo, a continuación,$g(x) \geq N$. Pero, por definición, de $h$ esto implica que $h(x) \geq N$$x \in [0,\delta]$, lo $h(x)$ va al infinito como $x \rightarrow 0$.

Para demostrar (1), definen $h(x)$ a ser el primer punto en la vertical de la línea que va a través de$(x,0)$${\rm cl} ({\rm epi}~ g)$; pongámonos de acuerdo para llamar al último set $H$. Ahora debemos argumentar que los puntos en $H$ son precisamente aquellos que se encuentran por encima de la gráfica de $h$. Que cada punto en $H$ se encuentra por encima de la gráfica de $h$ sigue, por definición, de $h$. Para obtener la otra dirección - que cada punto sobre la gráfica de $h$ $H$ - observar que todos los puntos sobre la gráfica de $h$ se encuentra por encima de un punto en $H$, y no es demasiado difícil argumentar que es por consiguiente, deben estar en $H$ sí.

Answer 3

Creo que la respuesta es sí. Definir una secuencia $\{\delta_n\}$ como sigue: $0<\delta_{n+1}<\delta_n<1$, $\delta_{n}-\delta_{n+1}\geq \delta_{n+1}-\delta_{n+2}$,$^{\dagger}$ y $g(x)>n$$(0,\delta_n)$; también podemos organizar lo que $\delta_n\to0$. Definir líneas de $\ell_n(x)$ por $$ \ell_n(x)=\frac{1}{\delta_{n+1}-\delta_n}(x-\delta_n)+n-1, $$ de modo que $g(x)>\ell_n(x)$$(0,\delta_n)$, y la pendiente de $\ell_{n+1}(x)$ no es mayor que la de $\ell_n(x)$. Definir $h(x)$ $h(x)=0$ $[\delta_1,1)$ y $$ h(x)=\ell_n(x)\qquad(x\in[\delta_{n+1},\delta_n)). $$ A continuación, $h(x)$ es convexa porque su pendiente es claramente no decreciente, es continua. Pero también $$ \lim_{x\to0}{h(x)}=\lim_{n\to\infty}h(\delta_{n+1})=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\delta_{n+1}-\delta_n}(\delta_{n+1}-\delta_n)+n-1\right) =\infty. $$

$^{\dagger}$ A ver que podemos conseguir a $\delta_n-\delta_{n+1}\geq\delta_{n+1}-\delta_{n+2}$, vamos a $\{\epsilon_n\}$ ser cualquier secuencia de satisfacer las demás condiciones, vamos a $n$ ser el menor entero para que $\epsilon_n-\epsilon_{n+1}<\epsilon_{n+1}-\epsilon_{n+2}$, y elija $k$ lo suficientemente grande como para que $\epsilon_{n}-\epsilon_{n+k}\geq\epsilon_{n+k}-\epsilon_{n+k+1}$ ($k$ existe porque $2\epsilon_{n+k}-\epsilon_{n+k+1}\to0$); tome $\delta_i=\epsilon_i$ $i\leq n$, $\delta_{n+1}=\epsilon_{n+k}$, $\delta_{n+2}=\epsilon_{n+k+1}$, y proceda (por ejemplo, por inducción).