Es fácil construir un holomorphic surjection $\mathbb D^* \to \mathbb D$ (cf. a continuación). Vamos a demostrar que existe una conformación surjection $f : \mathbb D^* \to \mathbb D$.
Paso 1. Tal $f$ existe si y sólo si usted puede encontrar un surjective, noninjective mapa de conformación $\varphi : \mathbb D \to \mathbb D$.
La prueba de que el "si" de la parte (el relevante para tu pregunta): tomar una $\varphi$ y dos elementos $z_1$, $z_2$ de $\mathbb D$ tal que $\varphi(z_1) = \varphi(z_2)$. A continuación, $\varphi_{|\mathbb D \setminus \{z_1\}}$ es un surjective, noninjective mapa de conformación $\mathbb D \setminus \{z_1\} \to \mathbb D$. Componiendo con un disco automorphism, puede suponer $z_1 = 0$.
La prueba de la "sólo si" parte: la exponencial mapa da un surjective mapa de conformación $\{z \in \mathbb C \, | \,\Re z \leq 0\} \to \mathbb D^*$. Componiendo con una biholomorphism entre este medio-plano y a la unidad de disco, se obtiene una conformación surjective, noninjective mapa de $\pi : \mathbb D^* \to \mathbb D$ (el universal que cubre el mapa). Si un $f$ existe $\varphi = f \circ \pi$ es un surjective noninjective mapa de conformación de la disco a sí mismo.
Paso 2. La construcción de una $\varphi$.
Por el mapeo de Riemann teorema, es suficiente para la construcción de un surjective, noninjective mapa de conformación de un simple conectado, $\neq \mathbb C$ dominio a otro simplemente conecte, $\neq \mathbb C$ dominio.
Es muy fácil convencer a sí mismo de que muchas de estas funciones existen (por ejemplo, mediante la restricción a un dominio adecuado de una cúbicos polinomio cuyas raíces son simples), pero para encontrar un ejemplo claro de que probablemente se encuentre obras es más difícil. (Un buen equipo de imagen podría ayudar). Soy demasiado perezoso para hacerlo.
En lugar de eso, vamos a utilizar un puro truco: vamos a olvidar un momento la rigidez de la conformación del mundo y deje $F : U \to V$ un surjective, noninjective local diffeomorphism entre dos conectadas, $\neq \mathbb C$ abierto subconjuntos de a $\mathbb C$. (Este tiempo, el mundo es flexible, ya que una simple imagen puede demostrar que ese $F$ existe. Me voy a dar un ejemplo al final de esta respuesta.)
$V$ ser un subconjunto de a $\mathbb C$, lo que se hereda es una de conformación de la estructura. Debido a que el mapeo de Riemann teorema, es conformemente equivalente a la de un disco. Ahora, uno puede tirar de nuevo esta conformación de la estructura a lo largo de $F$ para obtener una conformación de la estructura en $U$ que $F$ es tautologically un mapa de conformación. (¡Cuidado! esta estructura es la que a priori no es el heredado de la conformación de la estructura de $\mathbb C$!) La única pregunta es: es $U$ con este misterioso de conformación de la estructura de conformemente equivalente a la disco? La respuesta es sí, por supuesto: la uniformización teorema garantiza que cualquier conecta simplemente a la superficie es equivalente a la esfera de Riemann, el plano complejo o la unidad de disco; $U$ ni siquiera homeomórficos a la esfera de Riemann lo que sin duda no puede ser conformemente equivalente a ella, y tiene un no constante mapa de conformación en el disco, por lo tanto, por el teorema de Liouville, no puede ser conformemente equivalente a la del plano complejo. (Por fin!) tiene un surjective, noninjective mapa de conformación entre dos de conformación de los discos!
Un ejemplo de $F$
![ugly doodling]()
Este ejemplo no es probablemente el más claro ni el más simple, pero la idea me parece bien: hacer una banda de espiral alrededor de dos polos, de modo que los brazos de la espiral (i) auto-cruzan el núcleo de la espiral [que a priori crea dos agujeros] y (ii) ir a llenar el vacío creado por el brazo opuesto.
Estoy seguro de que esta idea puede ser utilizado para crear mejores fotografías de un surjective, noninjective local diffeomorphism entre dos trivial simplemente conectado dominios en el plano e incluso para cocinar de una agradable (por ejemplo, el polinomio) fórmula de la implementación de este comportamiento. Pero soy incapaz de hacerlo.
Off-topic apéndice.
Y por último, he aquí un ejemplo simple de un surjective holomorphic mapa de $\mathbb D^* \to \mathbb D$ que tiene un punto crítico (desde mi primera respuesta donde yo había leído mal la pregunta).
Paso 1: $z \mapsto z^2$ es una de conformación surjection $\mathbb D \to \mathbb D$. Por supuesto, no se queda surjective si elimina $0$ en el primer disco, pero se queda así, si se elimina cualquier otro punto en el que, a decir $1/2$ (debido a $-1/2$ tiene la misma imagen).
Paso 2: Componer con un disco automorphism que envía a $0$$1/2$.
Por lo $$f : \begin{array}{ccc} \mathbb D^* & \to & \mathbb D \\ z & \mapsto & \left( \frac{x+1/2}{1+x/2} \right)^2 = \left( \frac{2x+1}{x+2} \right)^2\end{array}$$ hace el truco.
