Encuentra $2$ al poder $p^2-1$ modulo $p$

Question

Dado un número primo $p>2$ encontrar $2^{p^2-1}$ modulo $p$ .

Conozco el teorema de Fermat y Euler, pero no puedo aplicarlo aquí.

Cualquier ayuda estaría agradecida.

Answer 1

Pista:

$a^{p^2-1}= \bigl (a^{p-1} \bigr )^{p+1}$ .

Answer 2

Usa el teorema de Euler: $ \gcd (a,n)=1 \implies a^{ \phi (n)} \equiv1\pmod {n}$

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$p \text { is odd prime} \implies\gcd (2,p)=1 \implies\color\red {2^{ \phi (p)}} \equiv\color\red {1} \pmod {p}$

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$p \text { is prime} \implies\color\green { \phi (p)}= \color\green {p-1}$

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$2^{p^2-1}=2^{(p-1)(p+1)}=(2^{ \color\green {p-1}})^{p+1}=(2^{ \color\green { \phi (p)}})^{p+1}$

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$2^{p^2-1} \equiv ( \color\red {2^{ \phi (p)}})^{p+1} \equiv\color\red {1}^{p+1} \equiv1\pmod {p}$

Answer 3

Usando una montaña para una topera:

El grupo Galois $ \text {Gal}( \mathbb {F}_{p^n}/ \mathbb {F}_p)$ es generado por $x \mapsto x^p$ . En particular, tomar $p^2$ los poderes se fijan $2 \in \mathbb {F}_p$ y, por lo tanto, tomar $p^2 - 1$ los poderes da $1$ ya que el grupo multiplicador es cíclico.

Observación . Esto se generaliza muy bien para encontrar el poder $p^n - 1$ como lo hace el método de escritura $a^{p^2 - 1} = (a^{p-1})^{p+1}$ .