¿Puede responder a mi hijo ' pregunta de tarea cuarto grado s: que números son prime, tienen a diez dígitos y tienen un tres en las decenas lugar?

Question

Mi hijo Horacio (de nueve años, cuarto grado) llegó a casa con un poco de diversión de la tarea de matemáticas ejercicios de hoy. Uno de sus problemas era la siguiente duda:

Estoy pensando en un número...

• Es el primer.
• Los dígitos suman 10.
• Tiene un 3 en el lugar de las decenas.

¿Cuál es mi número?

Supongamos que el problema se refiere a los dígitos en notación decimal. Horacio se acercó con 37, por supuesto, y me preguntó si podría haber soluciones más grandes con más dígitos. Observamos juntos 433 es otra solución, y también 631 y 1531. Pero también nota que 10333 resuelve el problema, basándose en la lista de los primeros 10000 números primos, y también a 0333$, y probablemente de muchos otros.

Mi pregunta es: ¿cuántas soluciones tiene el problema? En particular, hay infinitamente muchas soluciones?

¿Cómo se podría probar o refutar tal cosa? Me imagino que no son muy grandes números primos de la forma decimal 000000000000\cdots00000333$, pero no saben cómo demostrar o refutar esto.

Se puede proporcionar una respuesta satisfactoria a este cuarto grado de la tarea a la pregunta?

Answer 1

Como me pidieron que estoy publicando esto una respuesta. Escribí un corto sage script para comprobar la primalidad de los números de la forma ^n+333$ where $n$ is in the range $[4,2000]$. I found that the following values of $n$ give rise to prime numbers:

$,5,6,12,53,222,231,416.$$

Edit 3: I stopped my laptop's search between 2000 and 3000, since it hadn't found anything in 20 minutes. I wrote a quick program to check numbers of the form ^n+3*10^i+33$. Aquí hay un par de

• 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000030000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000033
• 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000300033
• 100000000000000000000000000000000000000000000000000000300000000000000000000000000000000000000033
• 100000000000000000000000000000000000000000000000030000000000000000000000000000000000000000000033
• 100000000000000000000000000000000000000000000030000000000000000000000000000000000000000000000033
• 10000000000000000000000000000000003000000033
• 10000000000000000000000000000030000000000033
• 10000000000000000000000030000000000000000033
• 10000000003000000000000000000000000000000033

No parecía ser un montón de números de esta forma y, presumiblemente, podría encontrar más si he comprobado algunas de las otras formas posibles, como señala el dr. jimbob.

Nota: he revisado el post un poco después de jimbob señaló en realidad estaba buscando primos que no encaja en los requisitos.

Edit 4: Como se pide aquí está el sabio secuencias de comandos que se utilizan. Para comprobar si ^n+333$ was prime:

for n in range(0,500):
  k=10^n+333
  if(is_prime(k)):
    print n

And to check for numbers of the form ^n+3*10^i+33$:

for n in range(0,500):
  k=10^n+33
  for i in range(2,n):
    l=k+3*10^i
    if(is_prime(l)):
      print l

Answer 2

De comentario de Srivatsan Narayanan: hay %#% #%.

Answer 3

37 433 631 1531 3331 4231 10333 10531 13033 15031 20233 20431 23131 30133 31033 31231 40231 41131 50131 51031 100333 103231 105031 110233 110431 113131 114031 120331 122131 123031 202231 211231 212131 231031 300331 310231 312031 321031 400033 411031 501031 510031 1000333 1001431 1010431 1011331 1030033 1050031 1110133 1110331 1112131 1130131 1311031 1320031 1400131 1401031 2001331 2011033 2020231 2110033 2130031 2300131 2301031 2400031 3000133 3000331 3011131 3030031 3100231 4010131 4020031 10002133 10002331 10010431 10012033 10014031 10020133 10020331 10023031 10112131 10121131 10201231 10203031 10210033 10220131 10500031 11040031 11101033 11101231 11102131 11111131 11201131 12000133 12020131 15000031

Answer 4

No una respuesta como tal, sino de los números primos que satisfacen los criterios 2 y 3 tienen la forma:

$$\begin{casos} 37\\ 31+6\times10^a\\ 31+5\times10^a+10^b\\ 31+4\times10^a+2\times10^b\\ 31+4\times10^a+10^b+10^c\\ 31+3\times10^a+2\times10^b+10^c\\ 31+3\times10^a+10^b+10^c+10^d\\ 31+2\times10^a+10^b+10^c+10^d+10^e\\ 31+10^un+10^b+10^c+10^d+10^e+10^f\\ 33+4\times10^a\\ 33+3\times10^a+10^b\\ 33+2\times10^a+2\times10^b\\ 33+2\times10^a+10^b+10^c\\ 33+10^un+10^b+10^c+10^e\\ \end{casos}$$

donde $a,b,c,d,e,f\in\mathbb N$, are distinct and $\gt1$.

Tomar cualquiera de estas formas, ¿alguien puede demostrar que existen infinitos números primos en la sucesión? Me imagino que +4\times10^a$ sería el más fácil de tratar.

He de decir también que, dado que muchas otras secuencias que no son tan restrictivos como este (por ejemplo, Goldbach de la conjetura, doble prime, Proth, Mersine) no puede ser demostrado tener un número infinito de números primos de este bien podría ser un escondite para nada.

Answer 5

Escribí algo de código Perl para esto. Hay 125 tales números primos distintos de 37 hasta 100000000. Hay 99 que terminan con 31. 26 y que termina en 33:). Creo que esta es la lista exhaustiva. Números para el límite superior es sólo cuestión de tiempo de cálculo.

433 631 1531 3331 4231 10333 10531 13033 15031 20233 20431 23131 30133
31033 31231 40231 41131 50131 51031 100333 103231 105031 110233 110431
113131 114031 120331 122131 123031 202231 211231 212131 231031 300331 310231
312031 321031 400033 411031 501031 510031 1000333 1001431 1010431 1011331
1030033 1050031 1110133 1110331 1112131 1130131 1311031 1320031 1400131
1401031 2001331 2011033 2020231 2110033 2130031 2300131 2301031 2400031
3000133 3000331 3011131 3030031 3100231 4010131 4020031 10002133 10002331
10010431 10012033 10014031 10020133 10020331 10023031 10112131 10121131
10201231 10203031 10210033 10220131 10500031 11040031 11101033 11101231
11102131 11111131 11201131 12000133 12020131 15000031 20003131 20004031
20013031 20110231 20112031 20202031 20210131 20211031 20400031 21001033
21100033 21100231 21201031 22002031 22100131 22110031 23100031 30000133
30000331 30010033 30030031 30102031 31110031 32100031 33000031 40000033
40000231 40011031 40101031 50000131 50010031

Código:

#!/usr/local/bin/perl

use strict;
use POSIX qw(ceil);

my $limit = $ARGV[0];
my $cnt=0;
    my $cnt31=0;
my $cnt33=0;
    my @sieve = set_sieve($limit);
chk_special($limit*$limit, $limit);
    print "Special primes: $cnt, Ending with 31: $cnt31, Ending with 33: $cnt33\n";

sub set_sieve {
    my $limit = $_[0];
    my $i=5;
        my $incr = 2;
    my @sieve = [];
    $sieve[0] = 2;
        $sieve[1] = 3;
    while ($i < $limit) {
    my $j = 0;
    	my $found = 1;
    while (($sieve[$j]*$sieve[$j]) <= $i) {
    	    $j++;
    	    if (($i % $sieve[$j]) == 0) {
    		$found = 0;
    		last;
    	    }
    	}
    	if ($found == 1) {
        push(@sieve, $i);
    	    sp_prime($i);
    }
    $i = $i + $incr;
    	if ($incr == 2) {
        $incr = 4;
    	} else {
    	    $incr = 2;
    	}
        }
        my $total = $#sieve+1;
    return @sieve;
}

sub chk_special {
    my $limit = $_[0];
    my $start = $_[1];
    my $i=$start-($start%6)+7;
        my $cutoff = power10(length($i)-1)*6;
        my $incr = 4;
    while ($i < $limit) {
    my $j = 0;
    	my $found = 1;
    if (sp_num($i)==1) {
    	    while (($sieve[$j]*$sieve[$j]) <= $i) {
    		$j++;
    		if (($i % $sieve[$j]) == 0) {
    		    $found = 0;
    		    last;
    		}
    	    }
    	    if ($found == 1) {
    		print "$i\n";
    		my $mod = $i%100;
    		if ($mod == 31) {
    		    $cnt31++;
    		}
    		if ($mod == 33) {
    		    $cnt33++;
    		}
    		$cnt++;
    	    }
    	}
    	$i = $i + $incr;
    if ($incr == 2) {
    	    $incr = 4;
    	} else {
    	    $incr = 2;
    	}
    	if ($i > $cutoff) {
    	    my $new_start = power10(length($cutoff)-1)*10;
    	    $i = $new_start - ($new_start%6) + 7; 
    	    $incr = 4;
    	    $cutoff = power10(length($i)-1)*6;
    	    #print "New_start: $new_start Cutoff:$cutoff\n";

    }
    }
}

sub sp_prime {
    my $prime = $_[0];
    my $mod_100 = $prime%100;
    if (($mod_100 == 33) || ($mod_100 == 31)) {
    my $sum;
    	$sum += eval join '+', split(//, $prime);
    	#print "$prime:$mod_100:$sum\n";
    if ($sum == 10) {
    	    print "$prime\n";
    	    my $mod = $prime%100;
    	    if ($mod == 31) {
    		$cnt31++;
    	    }
    	    if ($mod == 33) {
    		$cnt33++;
    	    }
    	    $cnt++;
    }
    }
}

sub power10 {
    my $exp = $_[0];
    my $power = 1;
        foreach my $n (1..$exp) {
    	$power *= 10;
        }
        return $power;
}


sub sp_num {
    my $num = $_[0];
    my $mod_100 = $num%100;
    if (($mod_100 == 33) || ($mod_100 == 31)) {
    my $sum;
    	$sum += eval join '+', split(//, $num);
    	if ($sum == 10) {
        return 1;
    } else {
        return 0;
    }
    } else {
    return 0;
    }
}

EDIT: otro dato curioso es como suma de los dígitos es 10, todos los números son de la forma 1 (mod 3) o 6n+1 tipo...