¿En qué sentido es Lebesgue la integral de la "más general"?

Question

[ ACTUALIZACIÓN: Esta pregunta aparentemente es muy fácil de malinterpretar. Ya sé acerca de cosas como la Henstock-Kurzweil integral, etc. Me estoy preguntando si la integral de Lebesgue (es decir, la medida general de la teoría de la integral) puede ser, precisamente, caracteriza como "el más general integral que puede ser definida de forma natural en una arbitraria medible en el espacio." ]

Disculpas, ya que no tienen mucho de un fondo en el análisis real. Estas preguntas pueden ser estúpido desde el punto de vista de alguien que sabe de estas cosas; si es así, dilo.

Mi humilde entendimiento de las diversas integrales es que la integral de Lebesgue es el "más general" integral puede definir el momento de su dominio es una medida arbitrario del espacio, pero que si tu dominio tiene algo más de estructura, como por ejemplo si es $\mathbb{R}^n$, entonces usted puede definir las integrales para una amplia clase de funciones que los objetivos medibles, por ejemplo, la Henstock-Kurzweil o Khintchine integrales.

[ EDITAR: Para aclarar que "por la integral de Lebesgue" me refiero a la medida general de la teoría de la integral definida para arbitrario Borel medible de funciones arbitrarias de medida de los espacios, en lugar de sólo el caso especial definido cuando el dominio está equipado con la medida de Lebesgue. ]

Mi pregunta: ¿hay un teorema que indica que no hay suficiente naturales de la integral definida en la medida arbitrario espacios (1) cumplir con las condiciones habituales e integral debe, (2) de acuerdo con la medida de Lebesgue de funciones medibles, y (3) integrar al menos una que no se pueden medir de la función? O, por el contrario, es esta falsa? Por supuesto, esto depende de la definición correcta de "suficientemente natural", pero supongo que no es demasiado duro para impedir que la declaración en abstracto tonterías.

Forman sería, supongo, tiene que de alguna manera "detectar" sigma álgebra de operadores mirando como los de $\mathbb{R}^n$ y de alguna manera actuar en este sentido.

[ EDIT 2: Para aclarar, por una "integral", me refiero a una función que toma como entrada $((\Omega, \Sigma, \mu), f)$ donde $(\Omega, \Sigma, \mu)$ es cualquier medir el espacio y $f : (\Omega, \Sigma) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B})$ es una función medible, y las salidas de un número, sujeto a las evidentes condiciones. ]

ACTUALIZACIÓN: El siguiente ejemplo tonto podría satisfacer a todos mis criterios, salvo connaturalidad:

Deje $(\Omega, \Sigma, \mu)$ ser una medida de espacio, vamos a $\mathcal{B}$ denotar la medida de Borel en $\mathbb{R}$, y deje $f : (\Omega, \Sigma) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B})$ ser un Borel medible de la función. Definir

$$\int_\Omega f \, d \mu := \begin{cases} \text{the Khintchine integral} & \text{if } (\Omega, \Sigma, \mu) = (\mathbb{R}, \mathcal{L}, \mu_\text{Lebesgue});\\ \text{the Lebesgue integral} & \text{otherwise.} \end{casos}$$

Answer 1

Hay otros conceptos de integral que poseen las propiedades básicas que usted esperaría de una integral, pero que pueden ser más general que la integral de Lebesgue. Por ejemplo, el Henstock-Kurzweil (aka Perron o Luzin integral) es una noción de la integral que se extiende a la integral de Riemann y tiene diferentes propiedades de la integral de Lebesgue.

Las diferentes teorías de la integración debe ser comparado sobre la base de las propiedades que se mencionan, así como la resultante de la convergencia de teoremas (es decir, la intercambiabilidad de los límites y la integración), propiedades de convergencia absoluta, y la de las versiones del teorema fundamental del cálculo que permiten. Algunas de las integrales están diseñados para tener particularmente agradable propiedades con respecto a, por ejemplo, los teoremas de convergencia (es decir, integración de Lebesgue), mientras que otros están diseñados para tener una particularmente fuerte teoremas fundamentales del cálculo (es decir, Henstock-Kurzweil integración). Particularmente, un buen libro que varios estudios de integración de las teorías y los compara es este libro.

Answer 2

La medida de Lebesgue es la única traducción completa invariante a la medida de múltiplos escalares. Esto es algo que usted desea para las integrales de ($I_{[0,1]}$ debe tener la misma integral como $I_{[3,4]}$). Si usted toma la integridad y la traducción de la invariancia como "suficientemente natural" (y creo que es completamente natural para hacerlo), a continuación, que sería su teorema.

Answer 3

Para responder a mi propia pregunta, la respuesta parece ser "sí", con la información que se detalla en el siguiente MathOverflow hilo, particularmente en la respuesta de G. Rodrigues:

http://mathoverflow.net/questions/38439/integrals-from-a-non-analytic-point-of-view

Answer 4

henstock-kurzweil integgration se puede hacer localmente compacto hausdroff spacesv y de manera mucho más fácil de completar separables metrizable espacios ( mira mi tesis). la recalificación general medir el espacio si se trata de un espacio de probabilidad ( bounded medida), a continuación, el lebesgue la integral de una función con valores reales pueden ser recuperados a partir de la realización de calibre integración en rango con respecto a probabiliy función de distribución como se muestra en el libro teoría de la variación aleatoria Patrick muldowney publicado por john wiley en realidad feynmann [ruta integrales y weiner integración de la henstock kurzweil integración es la integración de una mucho más amplia clase de funciones debido a las cancelaciones en las sumas de Riemann.

para las asignaciones con valores en un espacio de banach existe una gran clase de nonmeasurable pero absolutamente henstock kurzweil integrable asignaciones incluso cuando el dominio es real la línea.

en un localmente compacto espacio no isa posibilidad de que henstock-kurzweil integración, en algunos casos, genera un mayor sigma álgebra de caratheodry de la construcción. lebesgue stiltjes integra se puede hacer mucho más fácilmente mediante el uso de henstock-kurzweil método. anil pedgaonakr profanilp@rgmail.com