¿El producto cartesiano de los grupos es el producto de un subgrupo normal y su grupo de cociente?

Question

Estoy estudiando la teoría de grupos elementales, y viendo las formas en que los grupos se separan en grupos más simples, específicamente, un grupo puede ser dividido como el tipo de producto de cualquiera de sus subgrupos normales con el grupo de cociente de ese subgrupo. Así que me pregunté cómo se podría hacer lo contrario de esa operación:

1. Dados dos grupos $A$ y $B$ construir un grupo $G$ que admite un subgrupo normal $H$ isomorfo a $A$ de tal manera que $G/H$ es isomorfo a $B$ .

Creo que tengo una prueba de que el producto cartesiano $A \times B$ (con la operación habitual de componentes) verifica (1), pero desde que estoy empezando no estoy totalmente seguro de mi construcción. Además, si estoy en lo cierto, ¿es esta la sólo grupo hasta el isomorfismo satisfactorio (1)?

Edición: Me acabo de dar cuenta Probando que el producto directo D de dos grupos G & H tiene un subgrupo normal N tal que N isomórfico a G y D/N isomórfico a H que parece responder positivamente a mi pregunta. En ese caso, me gustaría llamar la atención sobre la pregunta de seguimiento de arriba (la singularidad hasta el isomorfismo).

Answer 1

Sí, el producto directo $A \times B$ satisface la propiedad, como has notado. Pero no es único hasta el isomorfismo. Por ejemplo, el grupo de catedrales $D_n$ tiene un subgrupo normal $H \simeq \mathbb Z/n \mathbb Z$ con $G/H \simeq \mathbb Z/2 \mathbb Z$ pero $D_n$ no es isomorfo (por $n > 1$ ) a $ \mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/n \mathbb Z$ .

En términos más generales, te estás preguntando si, dada una secuencia exacta de la forma $1 \to N \to G \to H \to 1$ es $G$ isomorfo a $N \times H$ ? La respuesta es no, como he demostrado. Muchos contraejemplos son proporcionados por productos semidirectos (algo que aprenderás muy pronto si estás estudiando la teoría de grupos elementales).

Para los grupos abelianos, el concepto de Functor externo permite clasificar todas esas extensiones (determinados grupos abelianos $A,B$ grupos de "cuántos" $G$ están allí con una secuencia exacta $0 \to B \to G \to A \to 0$ está dada por $ \mathrm {Ext}(A,B)$ ), pero esto es mucho más avanzado.

Answer 2

Tiene razón en que $A \times B$ satisface ( ver aquí ) la propiedad declarada, pero en general no será el único grupo de este tipo.

El ejemplo más simple es con $A=B= \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ en cuyo caso $ \mathbb {Z}/4 \mathbb {Z}$ también tiene la propiedad deseada.

Answer 3

Tu idea de que el producto directo funcione es cierta. Sin embargo, la idea general que está buscando es la de un producto semidirecto que refuta su afirmación de ser único en el escenario general.

Es interesante preguntar cuando el producto directo es la única posibilidad y eso puede ser respondido realmente encontrando el grupo $ \text {Ext}(B,A)$ . Esto se conoce como El problema de la extensión . Tenemos que si $ \text {Ext}(B,A)=1$ entonces $A \times B$ es la única extensión de $B$ por $A$ .

Sin embargo, creo que lo contrario es falso, pero no puedo pensar en un ejemplo por el momento. Es decir, existen pares $(B,A)$ de tal manera que $ \text {Ext}(B,A) \neq 1$ pero $B \times A$ es la única (hasta el isomorfismo de grupo, no la equivalencia de extensión) extensión de $B$ por $A$ .