Buena cota superior para $\int_0^1 (1 + 2x)/\sqrt{x + x^3}$

Question

Estoy tratando de obtener una parte superior e inferior de la estimación de la integral $$I = \int_0^1 \overbrace{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}\right)}^{\Large f(x)}\,\mathrm{d}x,$$ y un valor aproximado. Por ejemplo la búsqueda de dos integrales tales que

$$I_l < I < I_u$$

Puesto que el integrando es estrictamente decreciente en a $[0,1]$, un buen límite inferior es, por ejemplo,$f(1) = 3/\sqrt{2}$. Incluso una mejor estimación a la baja se puede encontrar mediante el uso de la expansión de taylor de $f$$x=1$. Por ejemplo $$I_l = \int \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}(x-1) + \frac{1}{3\sqrt{2}}(x-1)^2\,\mathrm{d}x = \frac{43}{12\sqrt{2}} $$

Pero ¿cómo se puede encontrar un buen superior de la estimación de la integral? He intentado hacer $$ I_u = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}\,\mathrm{d}x = \frac{10}{3}$$ Sin embargo, esto no es particularmente una estimación precisa.

¿Alguien tiene alguna sugerencia mejor para encontrar un buen superior estimación?

Answer 1

La sustitución de $x:=t^2$ $\>(0\leq t\leq1)$ obtenemos $$I=2\int_0^1{1+2t^2\over\sqrt{1+t^4}}\ dt\doteq 2.98808\ .$$ Así que el reto será demostrar, al menos,$I<3$.

Ya que la función $f(t):=(1+t^4)^{-1/2}$ no puede ser bien aproximada por polinomios sobre todo el rango de $[0,1]$ hemos dividido la integral en dos partes $I_1:=\int_0^{2/3}$$I_2:=\int_{2/3}^1$.

La serie $${1\over\sqrt{1+u}}=1-{u\over2}+{3u^2\over8}-{5u^3\over16}+\ldots\qquad\bigl(|u|<1\bigr)$$ es alterna; por lo tanto, tenemos $$I_1\leq2\int_0^{2/3}(1+2t^2)\left(1-{t^4\over2}+{3t^8\over8}\right)\ dt ={38399308\over22733865}\doteq1.68908\ .$$ La gráfica de $f$ tiene un punto de inflexión en $t=1$, y una precisa aproximación tendrá que hacerse cargo de eso. Por lo tanto podemos aproximar $f$ $\bigl[{2\over3},1\bigr]$ por su polinomio de Taylor $g$ $1$ de tercer orden. Este polinomio se calcula a $$g(t)={1\over\sqrt{2}}(1 + 2 t - 3 t^2 + t^3)\ .$$ Ahora tenemos que comprobar si $f(t)\leq g(t)$ es cierto para ${2\over3}\leq t\leq1$. Para ello calculamos el $$g^2(1-s)\bigl(1+(1-s)^4\bigr)-1 ={s^4\over2}(3 - 6 s - s^2 + 2 s^3 + 4 s^4 - 4 s^5 + s^6)\ .$$ Es fácilmente veryfied que el lado derecho es $\geq0$$0\leq s\leq{1\over3}$. Por lo tanto, ahora tenemos $$I_2\leq \sqrt{2}\int_{2/3}^1 (1+2t^2)(1 + 2 t - 3 t^2 + t^3)\ dt= \sqrt{2}\,{40219\over43740}\doteq1.30037\ .$$ La adición de los dos resultados parciales hasta que finalmente obtener $$I\leq2.98945\ .$$

Answer 2

Probablemente la mejor manera de encontrar a un superior estimación sería encontrar una línea recta situada por encima de la función $$f(x):=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.$$ Uno de esos línea es $y=-0.36x+1.08$. Usando esto como un límite superior para $f$ los rendimientos de la integral del límite superior como $$\int<\int_{0}^{1}(-0.36x+1.08)\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\right)\,dx=\frac{384}{125}=3.072.$$ Esta es una mejor estimación que antes. Otra posibilidad es tomar la línea recta en la que me he metido, y lop off para hacerla horizontal en $y=1$. Esto ocurre cuando $x=2/9$. Por lo tanto, vamos $$g(x)=\begin{cases}1,&\quad 0\le x\le 2/9\\ -0.36x+1.08,&\quad 2/9<x\le 1.\end{cases}.$$ Usando esto como un límite superior de los rendimientos $$\int<\frac{384}{125}-\frac{392\sqrt{2}}{10125}\approx 3.017.$$