¿Cuál es la diferencia entre "probabilidad" y "posibilidad"?

Question

El página de wikipedia afirma que la verosimilitud y la probabilidad son conceptos distintos.

En el lenguaje no técnico, "probabilidad" suele ser un sinónimo de "probabilidad", pero en el uso estadístico hay una clara distinción en la perspectiva: el número que es la probabilidad de algunos resultados observados dado un conjunto de valores de los parámetros se considera la probabilidad del conjunto de valores de los parámetros dados los resultados observados.

¿Puede alguien dar una descripción más realista de lo que esto significa? Además, estaría bien algún ejemplo de cómo discrepan la "probabilidad" y la "verosimilitud".

Answer 1

Si tengo una moneda justa (valor del parámetro), la probabilidad de que salga cara es de 0,5. Si lanzo una moneda 100 veces y sale cara 52 veces, entonces tiene una alta probabilidad de ser justa (el valor numérico de la probabilidad puede adoptar varias formas).

Answer 2

Suponga que tiene una moneda con probabilidad $p$ para aterrizar cabezas y $(1-p)$ para aterrizar colas. Dejemos que $x=1$ indican las cabezas y $x=0$ indican las colas. Definir $f$ como sigue

$$f(x,p)=p^x (1-p)^{1-x}$$

$f(x,2/3)$ es la probabilidad de x dada $p=2/3$ , $f(1,p)$ es la probabilidad de $p$ dado $x=1$ . Básicamente la verosimilitud frente a la probabilidad te dice qué parámetro de la densidad se considera la variable

Answer 3

$P(x|\theta)$ puede verse desde dos puntos de vista:

• En función de $x$ , tratando $\theta$ según lo conocido/observado. Si $\theta$ no es una variable aleatoria, entonces $P(x|\theta)$ se llama el ( parametrizado ) probabilidad de $x$ dados los parámetros del modelo $\theta$ que a veces también se escribe como $P(x;\theta)$ o $P_{\theta}(x)$ . Si $\theta$ es una variable aleatoria, como en la estadística bayesiana, entonces $P(x|\theta)$ es un condicional probabilidad, definida como ${P(x\cap\theta)}/{P(\theta)}$ .
• En función de $\theta$ , tratando $x$ según lo observado. Por ejemplo, cuando intentas encontrar una determinada tarea $\hat\theta$ para $\theta$ que maximiza $P(x|\theta)$ entonces $P(x|\hat\theta)$ se llama máxima verosimilitud de $\theta$ dados los datos $x$ , a veces escrito como $\mathcal L(\hat\theta|x)$ . Por lo tanto, el término probabilidad es sólo una forma de referirse a la probabilidad $P(x|\theta)$ para algunos datos $x$ que resulta de asignar diferentes valores a $\theta$ (por ejemplo, al recorrer el espacio de búsqueda de $\theta$ para una buena solución). Por lo tanto, se suele utilizar como función objetivo, pero también como medida de rendimiento para comparar dos modelos, como en Comparación de modelos bayesianos .

A menudo, esta expresión sigue siendo una función de sus dos argumentos, por lo que es más bien una cuestión de énfasis.

Answer 4

¿conoces el piloto de la serie de televisión "num3ers" en el que el FBI intenta localizar la base de operaciones de un criminal en serie que parece elegir a sus víctimas al azar?

el asesor matemático del FBI y hermano del agente a cargo resuelve el problema con un enfoque de máxima probabilidad. primero, asume alguna "forma de gugelhupf" probabilidad $p(x|\theta)$ que los delitos tienen lugar en lugares $x$ si el delincuente vive en el lugar $\theta$ . (el supuesto de gugelhupf es que el delincuente no cometerá un delito en su vecindad inmediata ni viajará extremadamente lejos para elegir a su próxima víctima al azar) este modelo describe el probabilidades para diferentes $x$ dada una cantidad fija de $\theta$ . en otras palabras, $p_{\theta}(x)=p(x|\theta)$ es una función de $x$ con un parámetro fijo $\theta$ .

Por supuesto, el FBI no conoce el domicilio del criminal, ni quiere predecir la próxima escena del crimen. (¡esperan encontrar al criminal primero!) es al revés, el FBI ya conoce las escenas del crimen $x$ y quiere localizar el domicilio del criminal $\theta$ .

por lo que el brillante hermano del agente del FBI tiene que intentar encontrar el probablemente $\theta$ entre todos los valores posibles, es decir, el $\theta$ que maximiza $p(x|\theta)$ para lo realmente observado $x$ . por lo tanto, ahora considera $l_x(\theta)=p(x|\theta)$ en función de $\theta$ con un parámetro fijo $x$ . en sentido figurado, empuja su gugelhupf en el mapa hasta que "encaja" óptimamente en las escenas del crimen conocidas $x$ . el FBI entonces va a llamar a la puerta en el centro $\hat{\theta}$ del gugelhupf.

para subrayar este cambio de perspectiva, $l_x(\theta)$ se llama probabilidad (función) de $\theta$ mientras que $p_{\theta}(x)$ fue el probabilidad (función) de $x$ . ambos son en realidad la misma función $p(x|\theta)$ pero visto desde diferentes perspectivas y con $x$ y $\theta$ cambiando sus papeles como variable y parámetro, respectivamente.

Answer 5

En lo que a mí respecta, la distinción más importante es que la probabilidad no es una probabilidad (de $\theta$ ).

En un problema de estimación, la X está dada y la probabilidad $P(X|\theta)$ describe una distribución de X en lugar de $\theta$ . Es decir, $\int P(X|\theta) d\theta$ no tiene sentido, ya que la probabilidad no es un pdf de $\theta$ aunque sí caracteriza a $\theta$ hasta cierto punto.