Cómo demostrarlo $[G:xHx^{-1}] = [G:H]$ dado $H \le G$ ?

Question

El problema es el siguiente:

Sea $G$ sea un grupo y $H$ un subgrupo de $G$ (es decir, $H \le G$ ); dejar $x$ sea cualquier elemento de $G$ (es decir, $x \in G$ ). Para demostrar que $[G:xHx^{-1}] = [G:H]$ .

Puedo justificar que el $xHx^{-1}$ es efectivamente un subgrupo de $G$ (es decir, $xHx^{-1} \le G$ ) y que $|xHx^{-1}| = |H|$ .

Para demostrar que $[G:xHx^{-1}] = [G:H]$ es necesario proporcionar una función biyectiva $F$ entre el conjunto de cosets (diferentes, a la izquierda) de $H$ (denotado $S = \{ aH : a \in G \}$ ) y la de $xHx^{-1}$ (denotado $T = \{ a (xHx^{-1}) : a \in G\} $ ).

He probado la función $F(aH) = a(xHx^{-1})$ pero no pudo demostrar que es biyectiva. Podría alguien ofrecer una pista de la función factible?

Answer 1

Prueba el mapa $aH \mapsto x(aH)x^{-1}$ . Tenga en cuenta que $x(aH)x^{-1} = (xax^{-1})xHx^{-1}$ .

En términos más generales, si $\phi$ es un automorfismo de $G$ y $H \leq G$ entonces $[G:H] = [G : \phi(H)]$ desde $aH \mapsto \phi(aH)$ es una biyección entre cosets izquierdos de $H$ y $\phi(H)$ . Su problema es el caso en el que $\phi(g) = xgx^{-1}$ .