Cualquier $5$ elemento subconjunto de $\{1,\dots, 9\}$ contiene una progresión aritmética.

Question

Cómo mostrar que cualquier $5$ elemento subconjunto de $X={1,2,3,...9}$ contiene al menos una progresión aritmética de longitud $3$.

Tan solo una sugerencia, no se. Por favor, no publicar solución completa.

Answer 1

Esta declaración no puede ser probado, porque es falso. Considere la posibilidad de $$\{1,2,6,8,9\}$$

Answer 2

Una solución viable sería la siguiente: dividir el conjunto en par e impar de elementos. Considere el caso donde $4$ son incluso y $1$ es impar. Esto es fácil. A continuación, $3$ a y $2$ impar, etc. El número de casos que se producen es lo suficientemente pequeño como para tratarlos de forma exhaustiva.

Answer 3

Tal vez una prueba por contradicción? Supongamos que existe un subconjunto de los 5 elementos de $[9]$ que no contienen una progresión aritmética de longitud 3. De modo que la máxima de la progresión tiene una longitud de 2. ¿Qué se puede decir acerca de los elementos del conjunto que tiene esta propiedad?