Mostrar que la serie $\sum \frac{\sin \left(\frac{\left( 3-4n \right)\pi }{6}\right) }{2^{n}}$ converge?

Question

Mediante la adición de la fórmula para la función seno he conseguido reducir esto a una forma más simple: $$\sum \frac{\cos \frac{2n\pi }{3}}{2^{n}}$$ Es evidente aquí que se pasa la n-ésimo término de la convergencia de la prueba. Pero ¿qué es lo siguiente? He aplicado Cauchy raíz de la prueba, este es el resultado: $$\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\frac{\cos \frac{2n\pi }{3}}{2^{n}}}$$ Para el numerador de ser una "constante", he conseguido que el límite es $\frac{1}{2}$, lo que significa que la serie es convergente. Es mi razonamiento detrás de esto correcto?

Answer 1

Ir a tu manera:

$$\lim\sup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{\cos\frac{2n\pi}3}{2^n}\right|}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]1}2=\frac12<1$$

y la serie converge absolutamente y por lo tanto converge.