Esto está relacionado con esta pregunta pero es más sencillo, y es de esperar que sea conocido. Hay varias referencias que dicen que el casco convexo de una colección de puntos en un espacio CAT(0) no tiene por qué ser cerrado. Me preguntaba si alguien conoce un ejemplo explícito.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ya hay ejemplos de este tipo en el mundo riemanniano. De hecho, en cualquier variedad riemanniana genérica de dimensión $\ge3$ El casco convexo de 3 puntos en posición general no es cerrado. PERO es difícil de hacer explícito y genérico al mismo tiempo :)
Si es cerrado, entonces hay muchas geodésicas en su frontera, ¡eso es raro! Para verlo haz primero el siguiente ejercicio: Demuestre que en una variedad genérica de 3 dimensiones, una superficie convexa suave arbitraria no contiene ninguna geodésica. (Aquí geodésica = geodésica en el espacio ambiente).
Para que la palabra "genérica" sea más clara: demuestre que cualquier métrica admite $C^\infty$ -que la propiedad anterior se cumpla.
Semisolución: Supongamos que una geodésica $\gamma$ se encuentra en el límite de un conjunto convexo $K$ con límite suave. Sea $N(t)$ sea el vector normal exterior a $K$ en $\gamma(t)$ . Tenga en cuenta que $N(t)$ es paralelo. Obsérvese además que a partir de la convexidad de $K$ obtenemos que para cualquier campo de Jacoby $J(t)$ tal que $$\langle N(t_0),J(t_0)\rangle\le 0\ \text{and}\ \langle N(t_1),J(t_1)\rangle\le 0,$$ tenemos $$\langle N(t),J(t)\rangle\le 0\ \text{if}\ t_0<t<t_1.$$ Nótese que esta condición no se cumple si el tensor de curvatura en $\gamma$ es genérico.
P.D. A grandes rasgos significa que los cascos convexos en el mundo de Riemann son demasiado complicados. Pero conozco un ejemplo en el que se utiliza, véase Kleiner's Un teorema de comparación isoperimétrica . Pero sólo utiliza que la curvatura de Gauss de los puntos no extremos en la frontera de los cascos convexos es cero...
Apéndice. (Una construcción de casco convexo). Para construir un casco convexo se puede hacer lo siguiente: empezar con algún conjunto $K_0$ y construir una secuencia de conjuntos $K_n$ para que $K_{n+1}$ es la unión de todas las geodésicas con extremos en $K_n$ . El sindicato $W$ de todos $K_n$ es un casco convexo. Ahora supongamos que coincide con su cierre $\bar w$ . En particular, si $x\in\partial\bar W$ entonces $x\in K_n$ para algunos $n$ . Es decir, existe una geodésica en $\bar W$ de paso $x$ (si $x\not\in K_0$ ). A partir de la convexidad, está claro que dicha geodésica se encuentra en $\partial \bar W$ ...
Aquarion
Puntos
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Hay un ejemplo natural si no se pide que la colección de puntos sea finita (pero sí cerrada): tomemos el subconjunto $A_1$ del espacio real de Hilbert $X=L^2(\mathbb{R})$ que consiste en una función que toma como máximo un valor al lado de $0$ . Entonces se ve fácilmente que los segmentos geodésicos entre pares de puntos en $A_1$ cubrir el conjunto $A_3$ de la función que toma como máximo $3$ valores al lado de $0$ . El casco convexo de $A_1$ es entonces el conjunto de funciones que toman un número finito de valores, y es denso en $X$ .
Para la historia, se trata de una variación de un ejemplo que encontré en el transporte óptimo: $X$ fue el Espacio Wasserstein de la recta real con coste cuadrático, que es isométrica al subconjunto de $L^2([0,1])$ consistente en funciones no decrecientes.
