La intuición por el teorema de los números primos

Question

(sorprendentemente, parece que esta pregunta no se ha hecho antes)

Deje $\pi(n)$ denotar el número de números primos $\leq n$. El primer número teorema de los estados que

$$\pi(n) \sim \frac{n}{\log n} \ \text{as} \ n \to +\infty$$

Después de cuidadosamente la lectura a través de Erdos primaria de la prueba de este teorema, creo entender la mecánica de la misma a partir de una formal perspectiva. Sin embargo, todavía no parecen comprender intuitivamente por qué este teorema es verdadero. Me gustaría algún intuitiva idea de por qué este teorema tiene.

Entiendo que para un resultado tan profundo como este, incluso la intuición de que va a contener algunos detalles esenciales. Probablemente no es el tipo de cosa que usted podría explicarle a un niño, por ejemplo. Sin embargo, voy a hacer esta pregunta sin tener en cuenta. Tiene que haber algún argumento convincente para este teorema, más allá de los detalles técnicos de las pruebas.

Answer 1

No es una explicación completa, pero es demasiado largo para un comentario.

Considere la posibilidad de la Criba de Eratóstenes.

Comience con el primer $n$ números. Quitar (menos uno) $\frac 12$ de ellos como múltiplos de $2$, el resto, retire $\frac 13$ de ellos como múltiplos de $3$. Del resto, retire $\frac 15$ como múltiplos de $5$, etc. Usted debe dejar alrededor de $$n\prod_{p\le n, \text{ prime}}1 - \frac 1p$$

los valores como números primos por debajo de $n$. Ahora, cuando se multiplica a cabo

$$\prod_{p\le n, \text{ prime}}1 - \frac 1p = 1 - \sum_{k \in S_n} \frac 1k$$ Donde $S_n$ es el conjunto de todos los cuadrados libre de enteros $> 1$ cuyos factores primos se $\le n$.

Queda por estimar que $1 - \sum_{k \in S_n} \frac 1k\approx \frac 1{\log n}$.

Editar:

Puesto que ya fue elegido como la solución y Winther ha proporcionado amablemente Merten del 3er teorema que dice justo lo que se necesitaba, yo sólo podía dejarlo ir. Pero Merten del teorema me parece un poco más intuitivamente obvio que el primer número teorema de sí mismo, así que he estado pensando en la heurística de conceptos para explicar.

Ahora para $|x| < 1$, $\frac1{1-x} = 1 + x + x^2 + ...$ por lo Tanto $$\frac 1{\prod\limits_{p\le n}1 - \frac 1p} = \prod\limits_{p\le n}\left(1 + \frac 1p + \frac 1{p^2} + ...\right)$$

Multiplicando el lado derecho, obtenemos $\sum_{k \in R_n} \frac 1k$ donde $R_n$ es el conjunto de todos los números enteros cuyos factores primos son todos los $\le n$. De estos, es de esperar (estoy siendo heurística aquí, para que yo pueda salir con que la comadreja-la redacción) que la suma de $k > n$ será significativamente menor que la de $k \le n$. Por lo tanto parece razonable que $$\sum_{k \in R_n} \frac 1k \sim \sum_{k \in R_n, k\le n} \frac 1k = \sum_{k=1}^n \frac 1k \sim \log n$$