Hay una sencilla prueba de Van der Waerden del Teorema cuando sólo hay dos colores?

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Waerden%27s_theorem

El enfoque habitual es introducir en la longitud de la progresión aritmética, de la que es difícil simplificar directamente al caso de dos colores.

¿Alguien sabe de un enfoque diferente?

Gracias.

Answer 1

Hay Sela enfoque para el Hales Jewett teorema (de la que Van der Waerden es un caso especial). A ver, http://www.math.unh.edu/~dvf/532/Sela's_proof

No estoy seguro de si es más fácil, sin embargo.

Answer 2

El caso de $k$ colores se puede hacer como un fácil de inducción si el $k=2$ de los casos está disponible para usted.

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En efecto, supongamos que sabemos que la VdW es cierto para $k-1$. Fijar un número natural $M$ $k$- la coloración de los números naturales. Buscamos un monocromática de una progresión aritmética de longitud $M$.

Primero se forma una $2$-la coloración de los números naturales como sigue: hemos color $n$ rojo si $n$ tenía color $k$ y nosotros el color $n$ azul si $n$ tenía uno de los otros colores $1,\dots k-1$.

Deje $N$ ser un Van der Waerden número de $k-1, M$. $N$ existe por la hipótesis inductiva.

Ahora sabemos de la $k=2$ caso de que cualquiera de los números rojos o los azules números contienen una progresión aritmética de longitud $N$. Si los números rojos, entonces podemos ganar de inmediato, ya que significa que no ha habido una progresión aritmética de longitud $N>>M$ entre el color $k$ en nuestro color original. Así que supongo que no es una progresión aritmética entre los números azules. En otras palabras, no son números naturales $a,d$ de tal forma que cada número de la forma $a+md$ (donde $m=1,\dots,N$) tuvieron uno de los colores de la $1,\dots,k-1$.

Ahora formamos una nueva $k-1$-la coloración de los números de $1,\dots,N$ como sigue: dar $m$ el color que $a+md$ había en el color original. Por lo que nos han mostrado, esta es una $k-1$-coloración (no $k$-coloración). Ahora, por la definición de $N$ no debe ser monocromática de una progresión aritmética de longitud $M$; es decir, no son números naturales $b,f$ tal que $b+jf$ tiene el mismo color (en nuestra nueva coloración de $\{1,\dots,N\}$)$j=1,\dots,M$.

Utilizamos esta progresión aritmética, para encontrar un monocromática de una progresión aritmética de longitud $M$ en el color original. Es decir, hemos demostrado que los números de $a+(b+jf)d$ $j=1,\dots,M$ todos tengan el mismo color. Pero podemos escribir

$$ a+(b+jf)d=(a+bd) + j(fd) $$

Así que este es un monocromática de una progresión aritmética para el color original. $\Box$

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Aunque la prueba no es tan corto, que no utiliza ideas inteligentes. A grandes rasgos, la estrategia de la prueba puede ser resumido de la siguiente manera:

• Trabajo por inducción sobre el número de colores
• El uso de la $k=2$ caso de encontrar una muy larga progresión aritmética que sólo toma valores entre los primeros a $k-1$ colores.
• Aplicar Van der Waerden del theorm en el $k-1$ caso para encontrar una larga progresión aritmética dentro de esta progresión aritmética, y utilice el hecho de que una progresión aritmética dentro de una progresión aritmética es todavía una progresión aritmética.

¿Qué significa esto a su pregunta? Esto significa que no es nunca va a ser una prueba de la $2$-color de caso que es mucho más fácil que en el caso general. En términos generales, a todos los de la difícil contenido de la prueba contenida en el $2$-color de la caja; el número arbitrario de colores no es lo que hace que la prueba de disco duro; es la longitud arbitraria de la progresión aritmética.

Así que si había una forma más fácil la prueba de la $2$-color caso, se traducirá automáticamente en una más fácil la prueba del caso general; ya que no se como prueba se sabe que existe, la respuesta a tu pregunta es no.