¿Por qué el resto distribuidos de manera uniforme cuando 1,2,3,... se dividen por un número irracional?

Question

Vamos resto $r$ se define como $$ r = n - pq $$ donde $n \in \mathbb{N}$ es el dividendo , $q \in \mathbb{R}$ es el divisor, y $p = \mathrm{floor}(n/q)$.

He calculado el resto al dividir por $\pi$$1,2,\dots,100000$, luego me la recordatorios parecen seguir una distribución uniforme en $[0,\pi)$.

Cuando el divisor es racional, es obvio que el resto se limita a unos determinados valores.

Cuando se trata de un irracional divisor, se hace intuitivo sentido para mí que el resto puede tener cualquiera de los valores en $[0,q)$, y sigue una distribución uniforme. Sin embargo, no tengo idea de cómo probar esto.

EDIT: Añadido el histograma.

Answer 1

La división de su fórmula por $q=\pi$ da $$ n \cdot \frac{1}{\pi} = p + \frac{r}{\pi} , $$ por lo $p$ es la parte entera, y $\frac{r}{\pi}$ es la parte fraccionaria, de $n \cdot \frac{1}{\pi}$. Como $n$ se ejecuta a través de los números enteros, esta parte fraccionaria $\frac{r}{\pi}$ es distribuido uniformemente en $[0,1)$ por Weyl del teorema de equidistribución, desde $\frac{1}{\pi}$ es irracional. Por lo tanto $r$ es distribuido uniformemente en $[0,\pi)$.

Answer 2

Como se dijo en la respuesta de @HansLundmark este es Weyl del teorema de equidistribución. Es una aplicación de la ergodic teorema combinado con el teorema de que un irracional rotación del círculo es ergodic, y he aquí algunos detalles de cómo reducir a los dos teoremas.

Considere el círculo unidad $S^1$ en el plano complejo. Dado $q \in \mathbb{R}$, considerar la función de la cual gira el círculo de $S^1$ a través del ángulo de $\frac{2 \pi}{q}$: $$R(z) = e^{2 \pi i / q} z $$ Definir la iteración de esta función por la inducción a ser $$R^n(z) = R(R^{n-1}(z)) $$ Su función del resto $r(n) \in [0,q)$ es la única función que $$R^n(1) = e^{2 \pi i \, r(n)/q} $$ Esta secuencia $R^n(1)$ es la "órbita" de $1=1+0i$ bajo la acción de la función de $R(z)$.

Así que tu pregunta se reduce a preguntar: ¿por Qué es el subconjunto $\{R(x), R^2(x),\ldots,R^n(x)\}$ igualmente distribuidos en el círculo de la $n \to +\infty$?

Ahora vamos a llevar en el ergodic theory.

Deje $\mu$ denotar la medida de Borel en $S^1$ que se asigna a un intervalo de ángulo de $\alpha$ una medida de $\alpha/2\pi$. El teorema se refiere el anterior, dice que desde $\frac{1}{q}$ es irracional, la transformación de $R$ es ergodic con respecto a $\mu$, y que significa: para todos los $\mu$medible de subconjuntos $A \subset S^1$ si $R(A)=A$ $\mu(A)=0$ o $1$.

A continuación, aplicamos el Ergodic Teorema que, con ese $R$ es ergodic con respecto a $\mu$, dice: Para cada $\mu$integrable función de $f : S^1 \to \mathbb{R}$ $\mu$- casi todos los $x \in S^1$ hemos $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(R^i(x)) = \int_{S^1} f \, d\mu $$ Así que, finalmente, podemos utilizar esto para ver por qué una órbita está igualmente distribuido. Tomar un angular intervalo de $A \subset S^1$ de ángulo de $\alpha$, y deje $\chi_A$ ser la característica de la función de $A$. La expresión $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \chi_A(R^i(x))$ (bajo el signo de límite en el lado izquierdo) es simplemente la proporción de los puntos en el conjunto de $\{R(x), R^2(x),\ldots,R^n(x)\}$ que se encuentran en $A$. Lo "distribuidos de manera uniforme" debe decir es que el límite de esta proporción en $n \to \infty$ (el lado izquierdo) debe ser igual a $\alpha/2\pi=\mu(A)=\int_{A} d\mu = \int_{S^1} \chi_A$ (el lado derecho). Y son de hecho iguales, que es exactamente lo que el Ergodic Teorema dice.

Answer 3

Ok, estoy seguro de que estoy cometiendo un error, pero no puedo irregular. Entiendo (porque yo sólo veía arriba) que normalmente esto es demostrado por ergodic métodos, pero todavía parece elemental para mí. Espero que estoy cometiendo un error garrafal y desearía que alguien me indicara dónde.

Queremos mostrar que si dos intervalos dentro de $[0,q]$ tienen la misma longitud, a continuación, el resto tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de ellos.

Supongamos que el intervalo deseado tiene una longitud de $\Delta$. Desde $q$ es irracional sabemos que, dada cualquier positivos $\Delta$ podemos encontrar un entero $m$ $(mq)$ menos de $\Delta$ (donde $(x)$ denota el resto $x\;mod (q)$. Más generalmente, si $N$ es un (gran) integer podemos encontrar un entero $m(N)$ tal que $(m(N)q)<\frac{\Delta}{N}$. Ahora partición de los números naturales por la congruencia de las clases mod (m(N)). Tomar cualquier intervalo de $[a,b]$ de la longitud de la $\Delta$. Contamos el número de clases de congruencia $m_i\;\;mod(m(N))$ tal que $(m_i q)\in[a,b]$ y consigue $\left[\frac{a}{(m(N)q)}\right]-\left[\frac{b}{(m(N)q)}\right]$. Pero esto es siempre dentro de $2$ $\frac{a-b}{(m(N)q)}$ y $N\rightarrow\infty$ vemos independencia de la ubicación de $a$$b$.