El siguiente resultado se debe a W. Burnside:
Teorema. Deje $G$ ser un subgrupo de $\textrm{GL}_n(\mathbb{C})$. Si $G$ ha finito exponente, a continuación, $G$ es finito.
La prueba se basa en lo siguiente:
Lema. Deje $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tal que para todo $k\in\{1,\ldots,n\}$, $\textrm{tr}(A^k)=0$, a continuación, $A$ es nilpotent.
No es difícil ver que el teorema aún se mantiene sobre los campos de característica cero. De hecho, para establecer el lema es suficiente con considerar una división de campo de la polinomio característico de a $A$. Sin embargo, el teorema no se cumple sobre infinito campo de la característica principal ; considerar el siguiente subgrupo de $\textrm{GL}_2(\mathbb{F}_p(t))$: $$G:=\left\{\begin{pmatrix}1&f\\0&1\end{pmatrix};f\in\mathbb{F}_p(t)\right\}.$$ Observe que $G$ es infinito albeith tener exponente $p$. Mi conjetura es que el siguiente refinamiento es verdadera:
Conjetura. Deje $k$ ser un infinito campo de la característica principal $p$ y deje $G$ ser un subgrupo de $\textrm{GL}_n(k)$. Si el exponente de $G$ es finito y el primer con $p$, $G$ es finito.
Ya he probado la conjetura de $n<p$, en ese preciso caso no es difícil ver que el lema aún se mantiene. Sin embargo, para $n\geqslant p$, el lema es falso. Por ejemplo, considere la posibilidad de $p=2$, $n=2$ y $A=I_2$.
Cualquier iluminación y/o referencias será muy apreciada!
