Es este un primer Ideal?

Question

Quiero ver si $J=(uw -v^2, u^3 - vw, w^3 -u^5)\subset\mathbb{C}[u,v,w]$ es un alojamiento ideal. Puede alguien darme una pista para hacer esto?

Edit: Más generalmente, me pregunto si $V(J)$, el algebraicas dado por la desaparición de locus de $J$, es irreductible.

Answer 1

$J$ es primo si y sólo si $\Bbb C[u,v,w]/J$ es una parte integral de dominio.
Así que, ¿qué $\Bbb C[u,v,w]/J$ parece ?

Ya en el cociente, $w^3 = u^5$, $w$ debe verse como una $5$th poder. Esto debe llevar a definir el mapa de $\Bbb C[u,v,w] \to \Bbb C[x], P(u,v,w) \mapsto P(x^3,x^4,x^5)$.

Ahora, el tedioso parte es demostrar que el núcleo de este mapa es exactamente $J$, por lo que esto le da un isomorfismo $\Bbb C[u,v,w]/J \to \Bbb C[x^3,x^4,x^5]$, lo cual es, obviamente, una parte integral de dominio.