Me gustaría averiguar el factor primo más pequeño de $4^{52} + 52^{2013} + 2013^{52}$ a mano. Gracias de antemano
Respuestas
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El número dado es impar, por lo que no se puede dividir por $2$ .
En mod $3$ tenemos $$\begin{align}4^{52}+52^{2013}+2013^{52}\equiv 1+1+0\equiv 2\end{align}$$
En mod $5$ tenemos $$\begin{align}4^{52}+52^{2013}+2013^{52}&\equiv (-1)^{52}+2^{2013}+3^{52}\\&\equiv 1+2\cdot 2^{2012}+(-1)^{26}\\&\equiv 1+2\cdot {16}^{503}+1\\&\equiv 1+2+1\\&\equiv 4\end{align}$$
En mod $7$ tenemos $$\begin{align}4^{52}+52^{2013}+2013^{52}&\equiv (-3)^{52}+3^{2013}+4^{52}\\&\equiv \color{red}{2^{26}}+3\cdot 2^{1006}+\color{red}{2^{26}}\\&\equiv \color{red}{2^{27}}+3\cdot 4^{503}\\&\equiv 2\cdot 4^{13}+3\cdot 4\cdot {2}^{251}\\&\equiv 2\cdot 4\cdot {2}^6+5\cdot 2^{251}\\& \equiv 1\cdot 2^6+5\cdot 2\cdot 4^{125}\\&\equiv 64+3\cdot 4\cdot 2^{62}\\&\equiv 1+5\cdot 4^{31}\\&\equiv 1+5\cdot 4\cdot 2^{15}\\&\equiv 1+6\cdot 2\cdot {4}^{7}\\&\equiv 1+5\cdot 4\cdot 2^{3}\\&\equiv 1+6\cdot 1\\&\equiv 0 \end{align}$$ Por lo tanto, la respuesta es $7$ .
Anthony Shaw
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858
En esencia, se trata de la misma idea que la respuesta de mathlove, pero utilizando el Pequeño Teorema de Fermat, podemos simplificar un poco el cálculo.
Utilizando la multiplicación modular, podemos reducir la base mod $p$ . Utilizando el Pequeño Teorema de Fermat, siempre que la base no sea $0$ podemos reducir el exponente mod $p-1$ .
$4^{52}\equiv0\pmod{2}$
$52^{2013}\equiv0\pmod{2}$
$2013^{52}\equiv1^0\equiv1\pmod{2}$
$4^{52}+52^{2013}+2013^{52}\equiv1\pmod{2}$
$4^{52}\equiv1^{0}\equiv1\pmod{3}$
$52^{2013}\equiv1^{1}\equiv1\pmod{3}$
$2013^{52}\equiv0\pmod{3}$
$4^{52}+52^{2013}+2013^{52}\equiv2\pmod{3}$
$4^{52}\equiv4^0\equiv1\pmod{5}$
$52^{2013}\equiv2^1\equiv2\pmod{5}$
$2013^{52}\equiv3^0\equiv1\pmod{5}$
$4^{52}+52^{2013}+2013^{52}\equiv4\pmod{5}$
$4^{52}\equiv4^4\equiv4\pmod{7}$
$52^{2013}\equiv3^3\equiv6\pmod{7}$
$2013^{52}\equiv4^4\equiv4\pmod{7}$
$4^{52}+52^{2013}+2013^{52}\equiv14\equiv0\pmod{7}$
Farkhod Gaziev
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6
Como he comentado, la divisibilidad de $4^{52} + 52^{2013} + 2013^{52}$ por $7$ se puede derivar muy fácilmente de la siguiente manera
$\displaystyle52\equiv3\pmod7\implies52^{2013}\equiv3^{2013}$
Ahora como $\displaystyle3^3=27\equiv-1\pmod7$ y $\displaystyle2013=3\cdot\text{ some odd number (namely}, 671 ),$
$\displaystyle 3^{2013}\equiv(-1)^{\text{ some odd number }}\pmod7\equiv-1\ \ \ \ (1)$
De nuevo como $2013\equiv4\pmod 7\implies 2013^{52}\equiv4^{52},$
$\displaystyle 4^{52}+2013^{52}\equiv2\cdot4^{52}\pmod7\equiv2\cdot2^{104}=2^{105}=(2^3)^{35}\equiv1^{35}\pmod7$ como $2^3=8\equiv1\pmod7$
$\displaystyle\implies4^{52}+2013^{52}\equiv1\pmod7\ \ \ \ (2)$
