Demostrar que $2 \le \int_0^1 \ \frac{{(1+x)^{1+x}}}{x^x} \ dx \le 3$

Question

Necesito algunas ideas iniciales, sugerencias para demostrar que

$$2 \le \int_0^1 \ \frac{{(1+x)^{1+x}}}{x^x} \ dx \le 3$$

Ya he comprobado que con Mathematica que numéricamente dice que

$$\int_0^1 \ \frac{{(1+x)^{1+x}}}{x^x} \ dx \approx 2.577632915067858 $$

Answer 1

Esto se puede hacer con 4 observaciones: $$ \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{(1+x)^{1+x}}{x^x} = 1 $$ $\frac{(1+x)^{1+x}}{x^x}$ valor $4$$x=1$.

$\frac{(1+x)^{1+x}}{x^x}$ valor $\frac{\sqrt{27}}{2}$$x=\frac{1}{2}$.

En $x=1$, $\frac{d^2}{dx^2} \frac{(1+x)^{1+x}}{x^x} = 4 \ln 2$.

Y $\frac{d^2}{dx^2} \frac{(1+x)^{1+x}}{x^x} < 0 $$(0,1)$, es decir, la función es cóncava hacia abajo en el correspondiente intervalo.

Considerar el trapecio, con esquinas en el $(0,0), (0,1), (1,4), (1,0)$ a que el área de $2.5$: Debido a $f(x) = \frac{(1+x)^{1+x}}{x^x}$ es cóncava hacia abajo, la línea entre el $(0,1)$ $(1,4)$ siempre se encuentra en o por encima de $y=f(x)$. Esto muestra que la integral $$ I > 2.5 $$

Ahora considere el trapecio, con esquinas en el $(0,0), (0,4-4\ln 2), (1,4), (1,0)$ que tiene de área $4 - 2 \ln 2$. Debido a $f(x) = \frac{(1+x)^{1+x}}{x^x}$ es cóncava hacia abajo, la línea entre el $(0,4-2\ln 2)$ $(1,4)$ siempre está en o por encima de $y=f(x)$. Esto muestra que la integral $$ I < 4 - 2 \ln 2 $$

Desde $4 - 2 \ln 2 < 2.62$ esto muestra que la integral es de entre 2.50 y 2,62.

Answer 2

Usted tiene:

$$\frac{(1+x)^{1+x}}{x^x}=(x+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$$

Para $x \in (0,1)$:

$$1+\frac{1}{x} \geq 1+\frac{1}{1}=2$$

Así:

$$(x+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \geq (x+1)2^x$$

Y:

$$\int_{0}^{1}(x+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \; dx \geq \int_{0}^{1}(x+1)2^x \; dx$$

Es fácil calcular $\int_{0}^{1}(x+1)2^x \; dx$,, s $\approx 2,24$.

Junto con la desigualdad de Bernoulli es:

$$(1+\frac{1}{x})^{x} \leq 1+x \cdot \frac{1}{x}=2$$ así:

$$(x+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \leq 2(x+1)$$

Y por último:

$$\int_{0}^{1}(x+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \; \leq \int_{0}^{1}2(x+1) \; dx =3$$

Answer 3

El integrando la función es cóncava en a $[0,1]$, por lo tanto la integral supera $$\frac{f(0)+f(1)}{2}=\frac{5}{2}.$$ Para el límite superior, es suficiente para considerar que $f'(1)=4\log 2$, por lo tanto la integral es menor que $$ \int_{0}^{1}\left(4+4\log 2(x-1)\right)\,dx = 4-2\log 2 <\frac{8}{3}.$$

Answer 4

Por el lado izquierdo de la desigualdad, usted puede usar la forma integral de la desigualdad de Jensen. Desde $e^x$ es convexo, se puede decir $$e^{\int_0^1 g(x)\,dx} \leq \int_0^1 e^{g(x)}\,dx.$$ donde $g(x)$ es el logaritmo natural de tu integrando. Usted puede calcular el $\int_0^1 g(x)\,dx$ explícitamente a ser $-1/2+\ln 4$. Entonces $$e^{\int_0^1 g(x)\,dx} = e^{-1/2+\ln 4} = \frac{4}{\sqrt{e}}\geq\frac{4}{\sqrt{4}}=2.$$