En su respuesta a la Única hasta el único isomorfismo, Qiaochu Yuan explica bastante bien lo que se entiende por algo "único hasta un único isomorfismo", pero yo estoy un poco perplejo por la importancia de la singularidad de este isomorfismo. Lo que hace "único hasta un único isomorfismo" más útil que la simple "único hasta el isomorfismo"?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Homer
Puntos
198
"La única hasta el único isomorfismo" es importante porque no sólo es el objeto en sí identifican, pero los elementos individuales son así.
Por ejemplo, $\mathbb{Z}$ como un aditivo grupo es no singular hasta un único isomorfismo, porque no podemos distinguir el 1 de -1. Esto significa que cualquier lugar en que un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}$ surge, siempre tendremos una opción de generador. En ausencia de información adicional, no habrá manera natural a decidir que elemento es 1 y -1.
Sin embargo, $\mathbb{Z}$ como un anillo es único hasta un único isomorfismo. Con la multiplicación, podemos distinguir 1 de -1. Cada vez que un anillo de isomorfo a $\mathbb{Z}$ surge, no sólo podemos identificar el anillo en sí, sino también los elementos individuales que podemos etiquetar 0,1,2,3,... y -1,-2,-3,...
Edit: Aquí es quizás el mejor ejemplo. Todos los espacios vectoriales sobre un campo fijo $F$ de una dimensión fija $n$ son isomorfos. Sin embargo, este isomorfismo es altamente no-singular, que se apoya en la elección de la base. Esto nos dice que no debemos pensar en cualquier espacio vectorial $V$ como simplemente ser elementos de $F^n$, porque no hay ninguna opción natural de que el objeto de la $V$ (1,0,...,0), etc.
