Homogeneidad lema en el punto de ajuste de la topología

Question

La declaración es simple:

Para todos los $x\in \operatorname{int} D_n:=\{x\in\Bbb R^n: \| x \|<1\}$, existe un homeomorphism $h$ $D_n$ tal que $h(0)=x$ $h$ no mover los puntos de $S_{n-1}$.

Esto de alguna manera me recuerda a la de la onda de sonido patrón presente en el efecto Doppler:

Tal vez me pueden, por tanto, la construcción de un explícito homeomorphism asignación? Pero es una muy vaga e ingenua idea, y no parece que me ayude en cualquier forma práctica.

Si una explícita homeomorphism es que no se encuentran fácilmente, entonces es allí cualquier intuitiva (y rigurosa y convincente, por supuesto) para hacer frente a este problema aparentemente sencillo?

(Cuando la búsqueda de una prueba, encuentro que la mayoría de los resultados no son realmente lo que quiero, más bien, parecen relevantes a otro lexema (bajo el mismo nombre) en topología diferencial/de la geometría, de la que no sé nada.)

Ps: el siguiente teorema pueden estar relacionadas (aunque no sé cómo):

Cualquier cerrado, convexo "volumen" (no conozco la terminología; sencillamente, algo sólido y tiene un volumen) en $\Bbb R^n$ es homeomórficos a $D_n$.

Answer 1

Esto me recuerda a un resultado cuya prueba es muy similar a esta :

Para la conexión de un colector $M$ y dos puntos cualesquiera $x,y$ $M$ existe un homeomorphism de $M$ que envía a$x$$y$.

Me voy a dar un esbozo de la prueba. Considere el segmento de línea recta uniendo $ 0$ $x$y tomar un pequeño tubular vecindario $N$ de este segmento en $ D_{n}$ . Considerar constante campo de vectores $X$ $N$ paralelo a la línea de segmento. Tomar otro tubular de nhbd $M$ dentro $N$ que contiene el segmento de línea.Ahora consigue un golpe de función $ f $ $1$ sobre todo $M$ $0$ en el complemento de $N$.Ahora $ f.X$ es un campo de vectores en int$ D_{n}$ . Siendo esta una forma compacta compatible campo vectorial es completa. Por lo tanto, usted va a obtener un homeomorphism de int $ D_{n}$ propia $0$$x$. También este homeomorphism revisiones cada punto fuera de$N$, por lo que puede ser extendido a toda la $ D_{n}$ la fijación de los límites de la esfera.

Answer 2

Hay un acercamiento elemental que funciona en cualquier normativa real de espacio vectorial. La idea general es utilizar la interpolación lineal a lo largo de los radios.

Concretamente, cualquier $x \in D$ puede ser escrito como $x = te$$t \in [0, 1], \|e\| = 1$. Podemos configurar de una forma general $h(te) = C + tf(e)$ con desconocidos $C$ $f$ , y, a continuación, tratar de resolver el sistema de $h(0) = a, h(e) = e$. Este funciona a la agradable y simple $h(x) = x + (1 - \|x\|)a$.

Algunos elementales de álgebra lineal muestra que $\|h(x)\| \le 1$ cuando $\|x\| \le 1$, y además para arbitrario $x, y$ $$ (1 - \|\|)\|x - y\| \le \|h(x) - h(y)\| \le 2\|x - y \| $$ por lo $h$ es de al menos un homeomórficos incrustación.

Para mostrar que es surjective puede ser un poco más complicado, puesto que no parece que no será fácil la expresión de $h^{-1}$, pero se puede hacer aplicando el teorema del valor intermedio para la función de $g(t) = \|a + t(x - a)\|$ a demostrar que existe un vector unitario $e$ tal que $x$ es en el segmento de $[a, e] = h([0, e])$.