Mostrando un Borel-Cantelli-esque resultado no necesariamente independiente de variables aleatorias

Question

$A_1, A_2,\dots$ son eventos que no son necesariamente independientes. Demostrar que $$P(A_n \text{ i.o}) = 1 \iff \sum_n P(A_n \cap B) = \infty \text{ for all $B$ with $P(B)>0$}.$$

$(\Rightarrow)$ Supongamos que $P(A_n \text{ i.o.}) = 1$ y que existe $B$$P(B)>0$. Supongamos, por el bien de la contradicción, que $\sum_n P(A_n \cap B) < \infty$. Entonces, por Borel-Cantelli, tenemos que $P(A_n \cap B \text{ i.o.}) = 0$. Desde $P(\limsup_n (A_n \cap B)) \geq \limsup_n P(A_n \cap B)$, $\limsup_n P(A_n \cap B) = 0$ también.

Estoy un poco dudoso en cuanto a la forma de obtener la contradicción. Si elijo un pequeño$\epsilon \ll P(B)$, de modo que $P(A_n \cap B) < \epsilon$ i.o., y esto estaría en contradicción con la $P(A_n \text{ i.o.}) = 1$, ¿verdad?

Como para el $(\Leftarrow)$ dirección, ¿cuál es la mejor manera de abordar esto? Pensé acerca de la contradicción de nuevo, pero entonces tendría que ver el $\omega \in \Omega$ tal que $\omega \notin A_n$ i.o., pero esto realmente no me lleve muy lejos... debo estar buscando en particular establece, tales como $B = \limsup_n A_n$?

Answer 1

"$\Rightarrow$": Como se ha sugerido, podemos demostrar esta dirección a través de la contradicción. Supongamos que $\sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(A_n \cap B) < \infty$ algunos $B$$\mathbb{P}(B)>0$. Luego se sigue de la Borel-Cantelli lema que $$\mathbb{P}(A_n \cap B \, \text{infinitely often}) = 0.$$ On the other hand, we have $$\mathbb{P} \left( \limsup_{n \to \infty} A_n \cap B \right) \geq \mathbb{P}\left(\limsup_{n \to \infty} A_n \right) + \mathbb{P}(B)-1 = \mathbb{P}(B).$$ Combining both inequalities yields $\mathbb{P}(B)=0$; por lo tanto, una contradicción.

"$\Leftarrow$": Supongamos que $\mathbb{P}(A_n \, \text{infinitely often}) <1$. Podemos optar $k \geq 1$ tal que $$\mathbb{P}\left( \bigcup_{n=k}^{\infty} A_n \right) < 1.$$ For $B := \left( \bigcup_{n=k}^{\infty} A_n \right)^c$ we have $\mathbb{P}(B)>0$ and $$\sum_{n \geq 1} \mathbb{P}(A_n \cap B) \leq \sum_{n=1}^{k-1} \mathbb{P}(A_n \cap B) < \infty.$$ Obviamente, esto contradice nuestra suposición.

Observación: La prueba de realidad muestra que $\mathbb{P}(A_n \, \text{infinitely often})=1$ es equivalente a la siguiente declaración:

Para cualquier $B$$\mathbb{P}(B)>0$, existen infinidad de $n \in \mathbb{N}$ tal que $\mathbb{P}(B \cap A_n)>0$.

Hasta donde yo sé, el resultado es debido a Petrov y Martikainen, ver su papel de 1990 (que obtuvo un poco más general de resultados).