Eludir la contradicción de la prueba AB = 0 entonces a o b es 0.

Question

Supongamos que tenemos que mostrar un campo no tiene divisores de cero - que es probar el título, a continuación, nos dirigimos exactamente como el argumento común en los reales (como era de esperar ya que ellos mismos son un campo).

Lo que quiero saber es, ¿cómo podemos probar que esto no contradicción?

Estaba hablando con algunos de los filósofos acerca - de nuevo, no tan sorprendente - lógica y que parecía tener un problema con el argumento por contradicción. Admito que no soy un gran fan (de ella) a mí mismo, a pesar de que el quid de la cuestión era que la lógica clásica (donde contradicción / ley de medio excluido es válido) es un muy, muy, muy fuerte la forma de la lógica; una mucho más débil de tipo de lógica es algo que se llama intuitist (?) la lógica (sólo he cogido el nombre) pero dijeron que no se mantienen aquí.

Ahora, si tomamos algo así como el campo de axiomas o los reales (por ejemplo, el orden en la bolsa...) - ¿cómo podemos probar en esta nueva lógica de que no hay divisores de cero. O, más precisamente, ¿cómo podemos evitar la contradicción?

Answer 1

Permítanme ampliar mis comentarios. Supongamos que tenemos una estructura con dos constantes de $0$$1$, uno unario operación $-$ y dos operaciones binarias $+$ $\times$ satisfactorio

1. $0 + x = x + 0 = x$
2. $x + (y + z) = (x + y) + z$
3. $x + (-x) = (-x) + x = 0$
4. $x + y = y + x$
5. $1 \times x = x \times 1 = x$
6. $x \times (y \times z) = (x \times y) \times z$
7. $x \times y = y \times x$
8. $x \times (y + z) = x \times y + x \times z$
9. $(x + y) \times z = x \times z + y \times z$
10. $0 \ne 1$
11. $(x = 0) \lor \exists y . (x \times y = 1)$

Un modelo de esta teoría es lo que algunos llaman un discreto campo. Es bastante fácil demostrar que discreto campos no-trivial divisores de cero: en efecto, si $x \times y = 0$, luego por (11) $y = 0$ o una $z$ tal que $y \times z = 1$; pero si hay un $z$,$0 = 0 \times z = x \times y \times z = x \times 1 = x$, por lo que $$(x \times y = 0) \implies ((x = 0) \lor (y = 0))$$ como se requiere. Esta deducción no hacer uso de la ley de medio excluido y es válido intuitionistically.

Por desgracia, la teoría de la discreta campos es algo insatisfactorio. En primer lugar, el axioma 10 es algo antinatural: el habitual axioma es $$(x \ne 0) \implies \exists y. (x \times y = 1)$$ que es intuitionistically estrictamente más débil que el axioma 11. (Moralmente, esto es debido a que intuitionistic lógica de la disyunción de la propiedad.) Si hemos adoptado este axioma en su lugar, no sería posible demostrar la no-existencia de la no-trivial divisores de cero.

En segundo lugar, creo que estará de acuerdo conmigo en que sin embargo nos axiomatise la teoría de los campos, es mejor que nos axiomatise de tal manera que un modelo de Dedekind números reales es un modelo de la teoría de los campos. Sin embargo, uno puede fácilmente producir modelos de la intuitionistic teoría de Dedekind los números reales que no son discretas campos, por el siguiente teorema:

Teorema. Deje $X$ ser un espacio topológico. Un modelo de la teoría de Dedekind los números reales en la lógica interna de la gavilla topos $\textrm{Sh}(X)$ es isomorfo a la gavilla de la real continua de las funciones con valores en $X$.

Prueba. Ver Poleas en la Geometría y la Lógica [Ch. VI, §8, Teorema 2].

Entonces, consideremos el espacio de $X = [-1, 1]$. Deje $\mathscr{O}_X$ ser la gavilla de la real continua de las funciones con valores en $X$. Tenemos un mapa continuo $i : \{ 0 \} \hookrightarrow X$, y por el general gavilla teoría sabemos que el inverso de la imagen gavilla $i^* \mathscr{O}_X$ es sólo el anillo local de gérmenes de funciones continuas en$0$$X$. La inversa de la imagen functor $i^* : \textrm{Sh}(X) \to \textrm{Sh}(\{ 0 \})$ conserva la interpretación de fórmulas geométricas, y la teoría de la discreta campos es geométrica, por lo que si $\mathscr{O}_X$ fueron discretos en el campo, por lo que la $i^* \mathscr{O}_X$. Pero un haz en un punto es un conjunto, por lo que la lógica interna de la $\textrm{Sh}(\{ 0 \})$ es clásica, y $i^* \mathscr{O}_X$, no es un campo: el germen de, digamos, $x \mapsto x^2$ no es invertible en a $i^* \mathscr{O}_X$, sin embargo, no es cero. Por lo $\mathscr{O}_X$ no podría haber sido discretos en el campo, para empezar.

Por lo que hay un intuitionistic teoría de los campos que no admitir la Dedekind los números reales como un modelo? Resulta que debemos agregar una relación binaria $\newcommand{\hash}{\mathrel{\#}}$ $\hash$, llamado un apretado apartness relación, la satisfacción de los axiomas que uno esperaría de la desigualdad,$\ne$:

• $\lnot (x \hash x)$
• $(x \hash y) \implies (y \hash x)$
• $(x \hash z) \implies (x \hash y \lor y \hash z)$
• $\lnot (x \hash y) \implies (x = y)$

Entonces, si vamos a reemplazar los axiomas 10 y 11 por los axiomas

• $(x \hash y) \Longleftrightarrow \exists z . (x \times z = y \times z + 1)$

obtenemos la teoría de Heyting campos. En palabras, $x \hash y$ precisamente al $x - y$ es invertible. Resulta que un modelo de Dedekind números reales es, de hecho, un Heyting campo, y la intuición aquí es que $x \hash y$ al $x$ $y$ son funciones tales que $x - y$ es nada cero: por lo tanto, los gráficos de $x$ $y$ no se intersecan en ningún sitio si $x \hash y$. (De ahí el nombre de 'apartness relación".) (Uno podría objetar que sólo porque $x - y$ está en algún lugar de cero no quiere decir $x = y$, pero la interpretación de $\lnot$ es bastante sutil en este contexto y $\lnot (x \hash y)$ resulta decir exactamente eso $x = y$.)

La especialidad de la Heyting campo axioma anterior, obtenemos $$(x \hash 0) \Longleftrightarrow \exists y . (x \times y = 1)$$ y así, por contraposición, tenemos $$\nexists y . (x \times y = 1) \implies \lnot (x \hash 0)$$ pero $\lnot (x \hash 0) \implies x = 0$, por lo que $$\nexists y . (x \times y = 1) \implies x = 0$$ exactamente como en la teoría clásica de campos. Por otra parte, desde $$1 \times 1 = 0 \times 1 + 1$$ debemos tener $1 \hash 0$.

Ahora, volvamos nuestra atención a los divisores de cero. Parece que hay un inevitable cambio: ahora que hemos permitido que el Dedekind números reales a ser un campo, debemos permitir que los campos tengan divisores de cero. En efecto, considerar la función de $f : [-1, 1] \to \mathbb{R}$ $$f(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\ \exp (-1 / x^2) & x > 0 \end{casos}$$ Este es continua (y aún suave!), pero si partimos $g(x) = f(-x)$, $f(x) g(x) = 0$ todos los $x$. Sin embargo, para abrir todas las cubre $\{ U_i \}$$X = [-1, 1]$, no debe ser un barrio de $U$ $0$ tal que $$f|_U \ne 0 \text{ and } g|_U \ne 0$$ así $$X \not\Vdash (f = 0) \lor (g = 0)$$ (en el sentido de la gavilla de la semántica) y, por tanto, $$X \not\Vdash (f \times g = 0) \Rightarrow ((f = 0) \lor (g = 0))$$ pero gavilla semántica valida intuitionistic lógica, por lo que esto implica $$(x \times y = 0) \implies ((x = 0) \lor (y = 0))$$ no puede ser probada en intuitionistic lógica.

Answer 2

Vamos a probar el contrapositive: si $a\neq0$ y $b\neq0$ y $ab\neq0$.

Ya que estamos en un campo, cualquier elemento distinto de cero tiene un inverso: $aa'=1$, $bb'=1$. Entonces $(ab)(a'b')=(aa')(bb')=1\cdot1=1$. Esto implica que el $ab\ne0$ porque $0$ veces nada es $0$.

Para este último paso, que he usado: $xy\ne0$ para algunos $y$ $\implies x\ne0$, que es contrapositive de $0y=0$ % todos $y$.

Answer 3

Una manera de demostrar que un campo no tiene divisores de cero sin utilizar un método de contradicción: Supongamos que $ab = 0$. Entonces hay dos posibilidades: o $a = 0$ (en cuyo caso hemos terminado) o $a \neq 0$ $a$ es una unidad, por lo tanto $b = a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0$. Nunca he usado ningún tipo de hipótesis de contradicción. Sólo he tratado con casos. Esto también funciona en campos no conmutativos.

Espero que ayude,

Answer 4

Usted podría acercarse a este caso por caso:

$a$ $b$ son positivos, negativos o cero.

• $a>0$, $b>0$ a continuación, $ab>0$ (positiva veces positivos es positivo). Por lo tanto $ab \not=0$.
• $a>0$, $b<0$ a continuación, $ab<0$ (positiva veces negativo es negativo). Por lo tanto $ab \not=0$.
• $a>0$, $b=0$ a continuación,$ab=0$.

etc.

Por lo tanto, la única manera de conseguir $ab=0$ si $a=0$ o $b=0$.

Edit: es cierto, supongo que todavía estoy usando la ley de medio excluido (y por lo tanto la contradicción) de aquí :(

Para cualquier campo:

Supongamos $ab=0$. Entonces si $a=0$, hemos terminado. Si $a \not=0$, $a^{-1}$ existe y por eso,$a^{-1}ab=0$$1b=0$$b=0$. Por lo tanto, cualquiera de las $a=0$ o $b=0$.