Comportamiento de las soluciones a Oda cerca de puntos singulares

Question

Estoy teniendo problemas para entender cómo clasificar lo que sucede a las soluciones de una edo cerca de puntos singulares. Por ejemplo;

Tengo una pregunta que es acerca de la educación a distancia dada por;

$$(x^2-36)y''+(6-x)y'+(x^2+12x+36)y=0$$

Y la pregunta sobre el comportamiento de las soluciones de cerca cada uno de los puntos singulares.

He encontrado que los puntos singulares se $x_1=6$ $x_2=-6$

Y me pareció que al tomar límites, que ambos eran regulares a causa de los límites finitos,

$$\lim_{x \to 6} (x-6)\frac{6-x}{x^2-36}=0$$ and $$\lim_{x \to 6} \frac{(x-6)^{2}(x^2+12x+36}{x^2-36}$$ 0

y del mismo modo $$\lim_{x \to -6}(x+6)^{2} \frac{6-x}{x^2-36}$$ 0 and $$\lim_{x \to -6} \frac{(x+6)^{2}(x^2+12x+36)}{x^2-36}=0$$

Así que lo que puedo deducir de todo esto? Veo que tiene dos raíces reales, pero esto lo puede decirme acerca de la solución del comportamiento? Por favor alguien puede tomar algún tiempo para ayudar.

¿Solo tengo que mirar en el de Euler, ecuación correspondiente para el caso de los dos reales distintas raíces?

Por cierto, no creo que la respuesta que se supone que tener cualquier cantidades extremas de trabajo, es a partir de un pasado tarea online, i,e

Es decir, tengo lo que la respuesta ya está, pero quiero entender. Realmente agradezco las respuestas, pero son definitivamente más allá de mi nivel y más allá de lo que se supone que lo considere. Sólo tenemos cubierto cosas tales como que el comportamiento de los puntos es similar al comportamiento de las soluciones de los asociados de euler, y cosas de ese nivel, etc. es decir , la respuesta proporcionada por el usuario hace un par de días parece que han dejado la impresión de que se responda a la pregunta, pero por desgracia lo que realmente es de ninguna ayuda para mí aunque aprecio el esfuerzo realizado

Otro ejemplo de la clase de pregunta es hacer la misma cosa pero a decir de una forma diferente, tales como ,

$$(x^2-4x-21)^{2}y''+(x^2-9)y'-xy=0$$

Para los que me parecieron los dos puntos singulares a ser $x_o=-3$, un punto singular regular y $x_1=7$, un punto singular irregular. Y estoy deseando saber las mismas cosas acerca de las soluciones en lo que respecta a $x_o$, por ejemplo, ¿cómo puedo saber si todas las soluciones siguen siendo limitada cerca de él? o si todos los que no sean cero soluciones son ilimitados, etc? Debe acabo de mirar los límites cuando x se va a las soluciones de la ecuación de euler como el anterior? O hay algo más? He estado tratando de entender por un tiempo y me parece que no puede averiguar. Muchas gracias

PS: yo estoy todavía tratando de averiguar esto, tengo un examen llegando quieren aprender este.

Answer 1

Parece que por alguna razón, usted no aprender las características de los exponentes de un punto singular regular.

Considere la siguiente $2^{nd}$ el fin de la educación a distancia que tiene un punto singular regular en $x = 0$.

$$x^2 y"(x) + xp(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0\ \quad\text{ donde }\quad \begin{cases} p(z) &= \sum\limits_{k=0}^\infty p_k z^k\\ q(z) &= \sum\limits_{k=0}^\infty q_k z^k\\ \end{casos} \;\;\text{ para } |z| < \rho. $$ Para simplificar, vamos a suponer que todos los coeficientes de $p_k, q_k$ son reales. A partir de estos coeficientes, se puede construir una ecuación cuadrática

$$r(r-1) + p_0 r + q_0 = 0$$

Esto se conoce como la ecuación indicial para la educación a distancia. Deje $r_1, r_2$ ser las dos raíces de indicial ecuaciones. Son conocidos como la característica de los exponentes y de la convención es el etiquetado de ellos para hacer de $\Re(r_1) \ge \Re(r_2)$.

El uso de estos dos exponentes, podemos decir algo acerca de las soluciones de la educación a distancia cerca de $0$.

• Si $r_1, r_2$ son complejos o $r_1, r_2$ son reales, sino $r_1 - r_2 \notin \mathbb{N}$, entonces la educación a distancia tiene dos soluciones independientes de la forma: $$y_1(x) = x^{r_1} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \quad\text{ y }\quad y_2(x) = x^{r_2} \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$$

• De lo contrario, $r_1, r_2$ son reales, sino $r_1 - r_2 \in \mathbb{N}$, los dos lineal de soluciones independientes tiene la forma $$y_1(x) = x^{r_1} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \quad\text{ y }\quad y_2(x) = K y_1(x)\log x + x^{r_2} \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$$ Si $r_1 = r_2$, $K \ne 0$ y podemos elegir ser $1$. Si $r_1 > r_2$, $K$ puede ser cero, puede ser distinto de cero.

Aplicar esto a nuestro ODE

$$\begin{align} & (x^2-36)y''+(6-x)y'+(x^2+12x+36)y=0\\ \iff & y'' - \frac{1}{x+6} y' + \frac{x+6}{x-6} y = 0 \end{align} $$ Tiene dos puntos singulares en$x = -6$$6$.

• En $x = -6$, la ecuación indicial es $$r(r-1) - r = 0 \quad\implies\quad r_1 = 2, r_2 = 0$$ Así que las dos soluciones de la educación a distancia tienen las siguientes formas: $$\left\{\begin{align} y_1(x) &= (x+6)^2 \sum_{k=0}^\infty a_k (x+6)^k\\ y_2(x) &= K y_1(x)\log(x+6) + \sum_{k=0}^\infty b_k (x+6)^k \end{align}\right. $$ Independiente de si $K = 0$ o no, el $\log(x+6)$ plazo en $y_2(x)$ serán suprimidos por la $(x+6)^2$ factor en $y_1(x)$. Como resultado, ambas soluciones $y_1(x), y_2(x)$ y, por tanto, todas las soluciones de la educación a distancia será delimitada cerca de $x = -6$.

• En $x = 6$, la ecuación indicial es $$r(r-1) = 0 \quad\implies\quad r_1 = 1, r_2 = 0$$ Las dos soluciones tienen las siguientes formas: $$\left\{\begin{align} y_1(x) &= (x-6) \sum_{k=0}^\infty a_k (x-6)^k\\ y_2(x) &= K y_1(x)\log(x-6) + \sum_{k=0}^\infty b_k (x-6)^k \end{align}\right. $$ Similar a la $x = -6$ de los casos, el $\log(x-6)$ plazo en $y_2(x)$ suprimida por el $(x-6)$ factor en $y_1(x)$. Como resultado, todas las soluciones para la educación a distancia es limitada cerca de $x = 6$.

Por el otro ODE $$\begin{align} &(x^2-4x-21)^{2}y''+(x^2-9)y'-xy=0\\ \iff & y'' + \frac{x-3}{(x-7)^2(x+3)} y' + \frac{x}{(x-7)^2(x+3)^2} y = 0 \end{align} $$ Tiene un punto singular regular en $x = -3$ y un irregular en $x = 7$. No tengo idea de cómo lidiar con el punto singular irregular. Para el punto singular regular en $x = -3$, la correspondiente ecuación indicial es

$$r(r-1) - \frac{3}{50} r -\frac{3}{100} = 0 \quad\implica\quad \begin{cases} r_1 &= \frac{53+\sqrt{3109}}{100} \approx +1.087584074378026\\ r_2 &= \frac{53-\sqrt{3109}}{100} \approx -0.027584074378026 \end{casos} $$ Desde $r_1, r_2$ son reales, sino $r_1 - r_2$ no es un entero, las dos soluciones tiene el de

$$\left\{\begin{align} y_1(x) &= (x+3)^{r_1} \sum_{k=0}^\infty a_k(x+3)^k\\ y_2(x) &= (x+3)^{r_2} \sum_{k=0}^\infty b_k(x+3)^k \end{align}\right. $$ Desde $r_1 > 0$, mientras que $r_2 < 0$, $y_1(x)$ está delimitado cerca de $x = -3$ mientras $y_2(x)$ es ilimitado allí.

Answer 2

Voy a analizar $x>6$ $x=6$ es irregular singular y lo podemos utilizar lo que se llama una Aproximación WKB. Si usted tiene una ecuación de la forma:

$$y''=Qy$$

a continuación, la asintótico de la solución de la ecuación será de la forma:

$$y=\frac{exp(\pm \int\sqrt Q d x)}{Q^{1/4}}$$

Vamos a tratar de aproximar la ecuación con las condiciones iniciales $y(0)=1$$y'(0)=0$. Reescribiendo la ecuación original:

$$y''-\frac{1}{x+6}y'+\frac{x+6}{x-6}y=0$$

Esta ecuación puede ser convertida en $y''=Qy$. Sustituto $y=uv$

$$u''v+uv''+2u'v'-\frac{1}{x+6}u'v-\frac{1}{x+6}uv'+\frac{x+6}{x-6}uv=0$$

Quiero librarme de $u'$, extracto de toda la $u'$ términos y hacerlos $0$ (tengo el derecho a hacerlo porque puedo elegir lo $v$ $u$ es):

$$+2u'v'-\frac{1}{x+6}u'v=0$$

$$v=\sqrt{x+6}$$

El resto de la ecuación se convierte en:

$$u''=\frac{4 x^3+72 x^2+429 x+882}{4 (x-6) (x+6)^2}u$$

Lo que significa que

$$Q=\frac{4 x^3+72 x^2+429 x+882}{4 (x-6) (x+6)^2}$$

$$\sqrt Q=i \sqrt{\frac{4 x^3+72 x^2+429 x+882}{4 (6-x) (x+6)^2}}$$

Me he convertido $x-6$ a $6-x$ Si es posible, siempre tratamos de hacer que $Q$ positivo mediante la extracción de la $i$. No necesitamos que preocuparse $Q^{1/4}$ debido a la constante será absorbida por la arbitrariedad de la constante de la ecuación lineal.

Lo que tenemos como resultado es:

$$u=C_{\pm}\frac{\exp\bigg(\pm i \int^x_7 \sqrt{\frac{4 t^3+72 t^2+429 t+882}{4 (t-6) (t+6)^2}} dt\bigg)}{\sqrt[4]{\frac{4 x^3+72 x^2+429 x+882}{4 (x-6) (x+6)^2}}}$$

Podemos escribir complejo exponencial a medida (cos y el pecado) o (pecado + de fase). Por lo que se convierte en:

$$u=C\frac{\sin\bigg(\int^x_7 \sqrt{\frac{4 t^3+72 t^2+429 t+882}{4 (t-6) (t+6)^2}} dt + \phi\bigg)}{\sqrt[4]{\frac{4 x^3+72 x^2+429 x+882}{4 (x-6) (x+6)^2}}}$$

La combinación de con $v$

$$y=C\sqrt{x+6}\frac{\sin\bigg(\int^x_7 \sqrt{\frac{4 t^3+72 t^2+429 t+882}{4 (t-6) (t+6)^2}} dt + \phi\bigg)}{\sqrt[4]{\frac{4 x^3+72 x^2+429 x+882}{4 (x-6) (x+6)^2}}}$$

Pero lo bueno es? Vamos a compararlo con el valor numérico de la solución real de la ecuación. Usando las condiciones iniciales recogidos anteriormente, la solución se convierte en:

$$ $ y=0.528063 \sqrt{x+6} \frac{\sin\bigg(\int^x_7 \sqrt{\frac{4 t^3+72 t^2+429 t+882}{4 (t-6) (t+6)^2}} dt -0.444830\bigg)}{\sqrt[4]{\frac{4 x^3+72 x^2+429 x+882}{4 (x-6) (x+6)^2}}}$$

Esta es la comparación entre la solución numérica:

escriba aquí la descripción del enlace

Aquí el tercer cuadro azul es la aproximación y de la naranja es la solución numérica. Ellos se superponen completamente.

Usted puede pensar que la solución no es bonita, pero para muchos de los casos, se ve MUY limpio (especialmente si en realidad se puede integrar a $Q$)

Esto probablemente no era algo que quería aprender, pero me gusta, así que voy a publicar de todos modos.