¿Cómo escribir una función a partir de un gráfico?

Question

¿Cómo representar una gráfica en una función?

Por ejemplo, he utilizado 3 funciones :

$$f(x)=x^2$$ $$g(x)=x$$ $$h(x)=3$$

Estas 3 funciones fueron trazadas en el mismo gráfico y el resultado (después de la edición) es el siguiente

¿Cómo representarías el siguiente gráfico en una función, digamos $k(x)$ ?

Answer 1

Puede definir simplemente $k$ para ser una función a trozos:

$$k(x) := \begin{cases}x^2 & 0 \le x < 1\\ x & 1 \le x < 3\\3 & 3 \le x\end{cases}$$

Ahora bien, si realmente no te gusta eso, puedes elaborar algo usando $\min$ :

$$k(x) = \min(x^2, x, 3)$$

Pero no todas las funciones a trozos tienen una forma "cerrada" tan bonita.

Answer 2

Usarías una función a trozos. En este caso, tenemos $$ k(x) = \begin{cases} x^2 & 0 \leq x \lt 1 \\ x & 1 \leq x \lt 3 \\ 3 & x \geq 3 \end{cases} $$

Answer 3

Dependiendo del contexto, también puede ser útil representar la función utilizando la función escalonada de Heaviside $H(x)$ que es igual a $0$ para $x < 0$ y $1$ para $x > 0$ . También se puede definir $H(0)=0$ o $H(0) = 1$ si quieres, pero puede que no sea tan importante, de nuevo dependiendo del contexto.

Con esta notación, su función puede escribirse como $$k(x) = x^2(H(x)-H(x-1))+x(H(x-1)-H(x-3))+3H(x-3),$$ o, recogiendo los términos de Heaviside, $$k(x) = x^2H(x)+x(1-x)H(x-1)+(3-x)H(x-3).$$

Esto es realmente una notación abreviada para la función a trozos que estamos tratando, pero es muy útil, por ejemplo, si usted está trabajando con las distribuciones. También hay que tener en cuenta que realmente no importa si definimos $H(0)=0$ o $H(0) = 1$ , como $k$ evalúa el mismo valor en $x=1$ y $x=3$ de cualquier manera, como se ve claramente en la segunda expresión de $k$ .