¿Cuál es la diferencia entre bola abierta y vecindad en el análisis real?

Question

Estoy aprendiendo el análisis real.

Bola abierta: La colección de puntos $x \in X$ Satisfaciendo a $|x - x_{0}| < r$ se llama bola abierta de radio $r$ centrado en $x_{0}$

El barrio: Un barrio de $x_{0} \in X$ es una bola abierta de radio r > 0 en $X$ que se centra en $x_{0}$

Estoy utilizando Real and Complex Analysis escrito por Christopher Apelian y Steve Surace. En mi mente, bola abierta = una colección de puntos satisfacen cierto requisito = barrio. No encuentro ninguna diferencia entre bola abierta y vecindad. ¿Alguien podría explicarlo? Gracias.

Answer 1

Mi entrada:

Para un campo electromagnético libre o de interacción débil, que tiene radiación en alguna región a una frecuencia y energía definidas, existe una cantidad mínima no nula de energía que se puede añadir o quitar al campo. Esa cantidad es un "fotón".

Ahora la letra pequeña:

• Por supuesto, muchas otras respuestas aquí son más precisas, y creo que bastantes son también perspicaces, pero me tomé la pregunta como "explícalo como si fuera un niño, pero de verdad", y traté de acercarme lo más posible a esto.

• Como otros han señalado, el fotón no siempre se utiliza de forma coherente, pero para prácticamente todos los usos que se me ocurren la afirmación anterior es cierta (si crees que tienes un contraejemplo, por favor, indícamelo). Digo "prácticamente" porque la única excepción que se me ocurre es el llamado "fotón virtual". Sin embargo, creo que esta terminología está muy sobreutilizada por los no expertos y debería evitarse, o al menos debería discutirse por separado.

• "Acoplamiento fuerte" frente a "débil" tiene una definición precisa estándar entre los físicos, pero realmente la transición entre fotones libres más excitaciones de la materia a excitaciones fuertemente acopladas como los polaritones ocurre suavemente, y no hay en ningún momento un cambio cualitativo brusco.

• Experimentalmente, el requisito de "una frecuencia definida" a menudo se relajará ligeramente a "una frecuencia bien definida", porque cualquier fuente real de luz siempre tiene cierta amplitud espectral finita. Ésta es una de las cuestiones que a veces provoca una ligera diferencia entre las nociones experimentalista y teórica de "fotón".

• Esta definición, expresada en términos de la energía de una parte concreta de un campo, es difícil de cuadrar al principio con la imagen de "partícula de bola de billar" que se puede tener de los fotones como objetos discretos que vuelan y rebotan en las cosas. Esto se debe simplemente a que esa imagen es, en muchos casos, muy defectuosa. En algunas situaciones muy específicas (quizás la dispersión Compton), se puede ser capaz de salirse con la suya. Sin embargo, es tan a menudo engañosa que probablemente sería mejor desecharla por completo hasta que se entiendan las condiciones en las que es válida a grandes rasgos, lo cual es una cuestión sutil que merece una discusión totalmente aparte. La mayoría de las veces, los fotones no son en absoluto como pequeñas "bolas de billar de luz".

Answer 2

Una bola abierta alrededor de x es una bola alrededor de un punto $x$ . Un barrio de $x$ se define comúnmente como un conjunto que contiene $x$ en su interior.

Un vecindario no tiene por qué ser una bola/otra forma trivial, sólo un conjunto que contenga $x$ .