Composición de la función lineal funcional es que Lipschitz implica función sí mismo es Lipschitz

Question

Esto es tomado de Conway es Un curso en el Análisis funcional (p. 98, Ejercicio 9):

Si $(S,d)$ es un espacio métrico y $X$ es una normativa espacio, muestran que si $f:S\rightarrow X$ es una función tal que para todos los $L\in X^*$ (el doble continua de $X$) $L\circ f:S\rightarrow\mathbb C$ es Lipschitz, entonces también lo es $f$.

He intentado derivar el reclamo usando el Uniforme de Acotamiento Principio, pero parece que la herramienta equivocada, para aplicarlo de alguna manera tienes que estar mirando a un espacio de Banach, y limitada a los operadores de ella. La selección natural parece considerar $X^*$ $A_s\in\mathcal B(X^*,\mathbb C)$ $A_s(L)=L(f(s))$ cualquier $s\in S$, pero tanto el hecho de que las constantes de Lipschitz puede depender de $L$ y no obvia la manera de relacionarse con un límite en $||A_s||$ $|f|$me hacen un poco perplejo.

Cualquier puntero se agradecería mucho, gracias!

Answer 1

Definir $$A=\left\lbrace\frac{f(x)-f(y)}{d(x,y)}\colon x,y\in S \,, \, x\neq y \right\rbrace \subseteq X $ $ y $A$ débil limita.