Probabilidad de que dos círculos en el espacio están vinculados

Question

Deje $C_0$ ser un círculo centrado en el origen, y $C_1$ un círculo centrado en $(1,0,0)$, la distancia del centro de la $1$.

Q1. Si tanto $C_0$ $C_1$ están orientadas al azar y tienen el mismo radio $r > \frac{1}{2}$ , ¿cuál es la probabilidad de $P(r)$ que los círculos están vinculados?

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Este es, en cierto sentido, un straighforward pregunta. A pesar de que "straighforward," no estoy encontrando un fácil cálculo. (Me gustaría una expresión exacta, aunque aproximaciones numéricas son bienvenidos.)

Esto puede ayudar a comenzar con una simple pregunta:

Q2. Suponga $C_0$ se fija en la $xy$-plano, y sólo $C_1$'s de orientación es aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de $P'(r)$ que los círculos están vinculados?

La orientación de $C_1$ está determinado por una unidad de vector normal $\hat{n}$ cuya punta está en una unidad de la esfera de $S$. El reto en la Q2 es para trabajar en la región en $R$ $S$ que conduce a la vinculación. La probabilidad de $P'(r)$ es, entonces, el área de $R$ dividido por $4 \pi$.

Incluso Q2 parece complicado. Si alguien puede ver las consideraciones que simplificar los cálculos, Me gustaría escuchar de ellos—¡Gracias!

Answer 1

Para la Q2, la probabilidad debe ser justo: $$\frac{2}{\pi}\arccos\frac{1}{2r}.$$ Considere la posibilidad de que el avión $\pi$ donde $C_0$ mentiras. $C_1$ se cruzan un plano en dos antipodal puntos de $P_1,P_2$ con respecto al $(1,0,0)$. Si un punto entre el $P_1$ $P_2$ se encuentra dentro del disco que $C_0$ recortes en $\pi$ los dos círculos están vinculados, de lo contrario no lo son. Pero la distribución de la antipodal puntos de $P_1,P_2$ es uniforme en un círculo que se encuentra en $\pi$, con el centro $(1,0,0)$ y radio de $r$. Por lo tanto, sólo necesitamos calcular la amplitud del ángulo se representa en la siguiente figura:

y se divide por $\pi$ a recibir nuestra respuesta. Por Q1, considere la posibilidad de $C_0$ como un círculo acostado en el avión $\pi$ y deje $\Gamma$ ser la intersección entre el $\pi$ y la esfera de $S$ concéntricos con $C_1$ radio $r$. Deje $\pi_1$ ser un plano paralelo a $\pi$ a través del centro de $S$. $C_1$ cruza $\Gamma$ sólo si el ángulo de $\theta$ $\pi_1$ y el plano que contiene a $C_1$ es lo suficientemente grande. En tal caso, $C_0$ $C_1$ están vinculados sólo si $C_1$ intersecta $\Gamma$ en un punto que se encuentra dentro de $C_0$. En este caso, nuestra probabilidad depende de dos (Euler) los ángulos $(\theta,\phi)$ que son distribuidos de manera uniforme sobre $[0,\pi]\times[0,2\pi]$.

Dado que el $d$ es la distancia del centro de la $S$ desde el avión $\pi$ donde $C_0$ miente $\sqrt{1-d^2}$ es la distancia entre el centro de la $C_0$ y el centro de $\Gamma$, mientras que $\sqrt{r^2-d^2}$ es el radio de la $\Gamma$. La probabilidad en función del ángulo azimutal $\theta$$\frac{2}{\pi}\arccos\frac{d}{r}$, mientras que la probabilidad dependiendo $\phi$ se puede encontrar mediante la resolución de un triángulo con las longitudes de los lados $(r,\sqrt{r^2-d^2},\sqrt{1-d^2})$ a través del teorema del Coseno. Poniendo todo junto, la probabilidad final es:

$$\frac{4}{\pi^2}\cdot\left(\arccos\frac{d}{r}\right)\cdot\left(\arccos\frac{1-2d^2}{2\sqrt{(r^2-d^2)(1-d^2)}}\right).$$