Contable base topológica

Question

Que $(E,\mathcal{T})$ sea un espacio topológico con un contable base (un espacio en segundo lugar contable ). ¿Si $\mathcal{U}$ es una topología en $E$ $\mathcal{U} \subset \mathcal{T}\,$ ($\mathcal{U}$ es más grueso que $\mathcal{T}$), $(E,\mathcal{U})$ tiene una base contable?

Answer 1

La respuesta no es necesariamente. Un contraejemplo es la topología del cofinite en $\mathbb{R}$. No tiene una base contable pero es un subconjunto de la topología generalmente en $\mathbb{R}$ que tiene una base contable.

Answer 2

No. Deje $\mathcal{T}$ será el habitual de la topología en $\mathbb{R}$, y deje $\mathcal{U} = \{\mathbb{R} \setminus F:F\text{ is finite}\}$. Cada subconjunto finito de $\mathbb{R}$ es cerrado en la topología usual, por lo que cada miembro de $\mathcal{U}$ es abierto en la topología usual, es decir,, $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$. $\mathcal{T}$ tiene una contables de base; uno de estos es el conjunto de intervalos abiertos con racional de los extremos. $\mathcal{U}$, sin embargo, no lo hace. Para ver esto, vamos a $\mathcal{B} = \{U_n:n \in \omega\}$ ser una contables subconjunto de $\mathcal{U}$. Para $n \in \mathbb{N}$ deje $F_n = \mathbb{R} \setminus U_n$; cada una de las $F_n$ es finito por la definición de $\mathcal{U}$. Vamos $C = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n$; $C$ es la unión de countably muchos finito de conjuntos, por lo $C$ es contable. $\mathbb{R}$, sin embargo, es incontable, de modo que podemos elegir un punto de $p \in \mathbb{R}\setminus C$. Ahora vamos a $U = \mathbb{R} \setminus \{p\}$. Claramente $U \in \mathcal{U}$. Pero para cada $n \in \mathbb{R}$, $p \in U_n \setminus U$, por lo $U_n \nsubseteq U$. Ya que ningún miembro de $\mathcal{B}$ es incluso un subconjunto de $U$, $\mathcal{B}$ claramente no puede ser una base para $\mathcal{U}$.

Añadido: también es posible construir ejemplos en una contables conjunto. Deje $\mathscr{D}$ ser discreta de la topología en $\mathbb{N}$; $\left\{\{n\}:n\in \mathbb{N}\right\}$ es una contables de base para $\mathscr{D}$, y claramente cualquier topología en $\mathbb{N}$ es un sub-topología de $\mathscr{D}$, tan sólo tenemos que encontrar una topología en $\mathbb{N}$ que no tiene contables de la base.

Deje $\mathscr{U}$ libre de ultrafilter en $\mathbb{N}$; a continuación, $\mathscr{U}\cup\{\varnothing\}$ es una topología en $\mathbb{N}$ sin contable de base. Que $\mathscr{U}\cup\{\varnothing\}$ es una topología es inmediata a partir de la definición de un filtro. A ver que $\mathscr{U}\cup\{\varnothing\}$ no tiene contables de la base, vamos a $\mathscr{B} = \{U_n:n\in\mathbb{N}\}$ ser cualquier contables subconjunto de $\mathscr{U}$. De forma recursiva elegir distintos puntos de $x_k,y_k \in \bigcap\limits_{i\le k}U_i \setminus \left(\{x_i:i<k\} \cup \{y_i:i<k\}\right)$, vamos a $A = \{x_k:k\in\mathbb{N}\}$, y vamos a $B = \mathbb{N} \setminus A$; $\mathscr{U}$ es un ultrafilter, así que o $A \in \mathscr{U}$ o $B \in \mathscr{U}$. Pero para cada $k\in\mathbb{N}$, $y_k \in U_k\setminus A$, por lo $U_k \nsubseteq A$, e $x_k \in U_k \setminus B$, lo $U_k \nsubseteq B$. Por lo tanto, ni $A$ ni $B$ incluso contiene un miembro de $\mathscr{B}$, e $\mathscr{B}$ no puede ser una base para $\mathscr{U} \cup \{\varnothing\}$.

Answer 3

Creo que William Chan ejemplo no funciona, por la razón de francis-jamet señala en su comentario.
Pero aquí hay algo que funciona, a lo largo de las mismas líneas, dando una contables espacio.

Deje $U$ ser un no-director de ultrafilter en $\mathbb N$.
Considerar el espacio $\mathbb N\cup\{U\}$ con la siguiente base para una topología: para todos $n\in\mathbb N$, $\{n\}$ es en la base. Para todos los $A\in U$, $A\cup\{U\}$ está en la base.

Deje $V$ ser una contables colección de conjuntos de $U$. No es $B\subseteq$ tal que para cada $A\in V$, $B\setminus A$ es finito. Cualquiera de las $B$ o su complemento es en $U$. El complemento claramente incluye ningún elemento de $V$. Si $B\in U$, split $B$ en dos infinitos pedazos. Una de las piezas se encuentra en $U$. Ambas piezas no contienen ningún elemento de $V$. En cualquier caso, $U$ tiene un elemento que no contiene ningún miembro de $V$.

Esta información puede ser usada para mostrar que el espacio de $\mathbb N\cup U$ no tiene contables de base para su topología. Y, claramente, la topología de la figura en la topología discreta en el espacio. También tenga en cuenta que estos espacios se obtienen mediante la adición de un nuevo punto a una contables espacio discreto.