Trato de calcular el estallido de $f=xy-z^2 \subset \mathbb{A}^3$ en el origen, pero tiene algo que no podía explicar:
Deje $A=\mathbb{C}[x,y,z]/(f)$, e $m=(x,y,z)$ ser el ideal correspondiente al origen. Luego de la explosión es $${\rm Proj}(A\oplus (m/f)t\oplus \cdots \oplus(m^k + (f)/(f))t^k\oplus\cdots).$$
Conjunto de anillo graduado $G:=A\oplus (m/f)t\oplus \cdots \oplus(m^k + (f)/(f))t^k\oplus\cdots$ I insertar variable $t$ en el fin de mantener un seguimiento de clasificación), $$\Gamma:=A[u,v,w]$$ with $u,v, w$ variables, entonces uno tiene un surjective gradual anillo de morfismos: $$\Gamma \to G$$ el envío de $u,v,w$ $xt,yt,zt$respectivamente.
El núcleo debe ser ideal $I:=(uy-vx, uz-wx,vz-wy)$, y por lo tanto tenemos un isomorhism $\Gamma/I \cong G$, y la voladura es ${\rm Proj}(\Gamma/I)$. Podemos tomar una afín a la pieza de esta variedad proyectiva, decir $w \neq 0$. A continuación, puede ser escrito como
$${\rm Spec}((A)[u/w,v/w]/J)$$ donde $J=(uy/w-vx/w, uz/w-x, vz/w-y)$. Con el fin de simplificar la notación, podemos suponer $w=1$, y establecer $u/w=u$ etc. Bajo esta notación, podemos reescribir encima por $${\rm Spec}((\mathbb{C}[x,y,z]/(xy-z^2))[u,v]/J')$$ where $J'=(uy-vx,uz-x,vz-y)$. Y por lo tanto puede ser simplificado por
$${\rm Spec}(\mathbb{C}[uz,vz,z]/(uvz^2-z^2))[u,v],$$ y además
$${\rm Spec} (\mathbb{C}[u,v,z]/(uvz^2-z^2)).$$
Se puede demostrar que esta afín a la pieza de mapas a ${\rm Spec}\mathbb{C}[x,y,z]/(xy-z^2)$ por los mapas de $x,y,z$ $uz,vz,z$respectivamente.
Pregunta:
(1) ¿$${\rm Spec} (\mathbb{C}[u,v,z]/(uvz^2-z^2))$$ corresponds to the blowup of $ f$ restringido a un afín a la pieza?
(2)La variedad es una unión de $z^2=0$$uv-1=0$, lo que hace que cada pieza decir? $z^2=0$ no parece una divisor excepcional porque es la dimensión de $2$, y la excepcional divisor debe tener dimensión $1$.
