Una buena observación de los C. E. Blair1, 2, 3 , muestra que la categoría de Baire teorema para completar la métrica del espacio es equivalente al axioma de (contables) dependiente de la elección.
Por otro lado, los tres clásicos consecuencias de la categoría de Baire teorema de la base funcional de un análisis de la asignación abierta teorema, el cerrado teorema de la gráfica y el acotamiento uniforme principio (así como Zabreiko del lexema) — son equivalentes entre sí en Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos sin elección: es decir, si uno se agrega como un axioma para ZF, a continuación, los demás siguen4.
Cada uno de estos resultados tiene una forma más o menos directa de la prueba de la categoría de Baire teorema y todas las pruebas ", evitando Baire" soy consciente de5 implicar dependiente de la elección de una manera que no parece ser reemplazable por el debilitamiento de las formas de elección.
Por lo tanto estoy preguntando sobre los que conversar:
¿La asignación abierta teorema implica la categoría de Baire teorema?
Si no, es al menos cierto que la asignación abierta teorema implica el axioma de dependiente de la elección de los subconjuntos de los reales?
Me imagino que la aplicación de cualquiera de los resultados anteriores para un juiciosamente elegido el espacio y/o operador(es) podría producir la conclusión deseada, de manera similar a lo que sucede en Bell y Fremlin geométricos de la versión de el axioma de elección6. Por desgracia, no pude encontrar un lugar prometedor para empezar.
No hace falta decir que he comprobado muchas cosas en el formulario web de Howard y Rubin el libro de las Consecuencias del Axioma de Elección, pero sin mucho éxito: Los únicos artículos que he encontrado de esta manera son J. D. Maitland Wright artículos7.
Notas a pie de página y Referencias:
1 Charles E. Blair, La categoría de Baire teorema implica el principio de dependiente de decisiones, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. De matemáticas. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 10, 933-934.
2 Desde Blair artículo es difícil de encontrar, la prueba se puede encontrar en las notas al capítulo 9, página 95 de John C. Oxtoby, Medir y Categoría, Springer GTM 2, Segunda Edición, 1980.
3 Aquí es la idea de Blair argumento para la implicación de Categoría de Baire Teorema de la $\Rightarrow$ Dependent Choice: let $S$ be a set and let $R \subset S \times S$ be a relation such that for all $s \in S$ there exists $t \in S$ such that $(s,t) \in R$. Equip $S^{\mathbb{N}}$ with the complete metric $d(f,g) = 2^{-\min\{n\,:\,f(n)\neq g(n)\}}$, poner $$ U_n = \bigcup_{m = n+1}^{\infty} \bigcup_{(s,t) \in I} \{f \in S^{\mathbb{N}}\,:\,f(n) = s, \,f(m)=t\}, $$ observar que $U_n$ is open and dense and use $f \in \bigcap_{n=1}^\infty U_n$ and the well-order on $\mathbb{N}$ to find a strictly increasing sequence $k_1 \lt k_2 \lt \cdots$ such that the sequence $(x_n)_{n=1}^\infty$ given by $x_n = f(k_n)$ satisfies $(x_n, x_{n+1}) \in R$ for all $n \in \mathbb{N}$.
4 Ver, por ejemplo, E. Schechter, Manual de Análisis y de sus fundamentos, 27.27, pp. 734ff.
5 Un buen ejemplo de esto es Sokal es Un Muy Simples y Elementales de la Prueba de la Acotamiento Uniforme Teorema, La American Mathematical Monthly Vol. 118, Nº 5 (Mayo de 2011), pp 450-452, ArXiV Versión. Aunque hay que admitir que es maravillosamente simple y elemental, que consiste en una simple aplicación de dependiente de la elección en el argumento principal.
6 Bell y Fremlin, Una Forma Geométrica de el Axioma de Elección, Fondo. De matemáticas. vol. 77 (1972), 167-170.
7 La lista completa de los artículos pertinentes se pueden obtener con este ZBlatt consulta dos de los cuales apareció en lugar oscuro procedimientos, por lo que no pude tener en mis manos sobre ellos, sin embargo. El tercer artículo es J. D. Maitland Wright, Todos los operadores en un espacio de Hilbert son acotados, Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 79 (1973), 1247-1250.
