Que $x^n + x + 3$ es irreducible todos $n \geq 2.$

Question

Así que en primer lugar, he utilizado el siguiente de mis notas de la Conferencia:

Si $f \in \mathbb{Z}[x]$ es primitivo (el MCD de los coeficientes es 1 -) $f$ irreducible en $\mathbb{Z}[x] \Leftrightarrow$ f irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

Ahora que sólo tengo que demostrar es irreducible en $f_n = x^n + x + 3$ % todo $\mathbb{Z}[x]$$n \geq 2. $

¿Hay un patrón que sería atractivo para de alguna manera?

Answer 1

Si tuviéramos una descomposición en $\mathbb Z[x]$ $$x^n + x + 3=p(x)\cdot q(x)=(x^a+\dots+c_a)\cdot(x^b+\dots+d_b)$$ we would deduce $c_a\cdot d_b=3$ so that we would have, maybe after renaming the factors, $c_a=\pm 1$ (and of course $d_b=\pm 3$).
Esto significa que para el (complejo!) ceros $z_i$ $p(x)$ tendríamos $\prod |z_i|=1$, de modo que al menos uno de los ceros, es decir $z_1$, debe satisfacer $|z_1|\leq 1$.
Pero luego, desde el $z_1$ también es un cero de nuestra original polinomio: $z_1^n+z_1+3=0$.
Esto es claramente imposible, ya que $|z_1^n+z_1|\leq |z_1|^n+|z_1|\leq 2$.

Esta contradicción muestra que $x^n + x + 3$ es en realidad irreductible.

Editar
Ahora me doy cuenta de que el mismo método de prueba que $x^n + x + p$ $x^n + x - p$ son irreducibles de cualquier primer entero $p\geq 3$.